|
Discussió i resolució de sistemes utilitzant determinants Recordeu que... Si un sistema no té solució direm que es tracta d'un: Si té una única solució direm que és un: Ens cal considerar les matrius A i A*: Si volem resoldre un sistema com: A= Matriu dels coeficient 1 1 2 -3 -3 1 1 1 2 x + y + z = 4 2x -3y + z = 1 x -3y +2z = 2 A*= 1 1 2 Matriu ampliada -3 -3 1 1 1 2 4 1 2 Si rang(A) ≠ rang(A*) Si A és la matriu dels coeficients, n és nombre de incògnites i A* és la matriu ampliada d'A: Si rang(A) = rang(A*) Si rang(A) = rang(A*) = n Si rang(A) = rang(A*) <n Es tracta d'un S.C.D. Es tracta d'un S.C.I. Es tracta d'un S.I. ...i ara resol els exercicis següents. 1) Discuteix i resol el següent el sistema d'equacions: |A|=-6-6+1+3+3-4=-9≠0 Rang(A*)= Es tracta d'un Rang(A)= x + y + z = 4 2x -3y + z = 1 x -3y +2z = 2 = núm. incògnites = núm. incògnites 1 1 2 -3 -3 A 1 1 1 2 · z x y X 4 1 B 2 x + y + z = 2x - 3y + z = x - 3y +2z = Calculem els valors de x, y, z (per Cramer): x= x= 4 1 2 |A| -3 -3 1 1 1 2 4 2 1 y= 1 1 2 y= 1 1 2 |A| -3 -3 4 1 2 1 1 1 2 1 1 2 z = · z x y z= 1 1 2 -3 -3 |A| 4 1 1 2 4 1 2 2) Discuteix i resol el sistema següent: A*= x + 2y - 3z = 3 4x - 3y + z = 1 2x - 3y + 2z = -2 A= ◜ ◟ ◜ ◟ 1 4 2 ? 1 4 2 2 -3 -3 ? 2 -3 -3 -3 1 2 -3 1 2 ? ◞ ◝ 3 1 -2 ? Matriu de coeficients ? ◞ ◝ Número de incògnites = Matriu ampliada ? rang(A*)= rang(A)= |A|= 3) Discuteix i resol el sistema següent: Es tracta d'un rang(A) = rang(A*)= nº de incògnites x + 2y - 3z = 3 4x - 3y + z = 1 2x - 3y + 2z = -2 Sistema Incompatible Sistema Compatible Determinat Sistema Compatible Indeterminat Calculem el valor de la incògnita x: x= x + 2y - 3z = 3 4x - 3y + z = 1 2x - 3y + 2z = -2 3 1 -2 ? 2 -3 -3 ? -3 1 2 ? = Calculem el valor de la incògnita y: y= x + 2y - 3z = 3 4x - 3y + z = 1 2x - 3y + 2z = -2 1 4 2 ? 3 1 -2 ? -3 1 2 ? = Calculem el valor de la incògnita z: z= x + 2y - 3z = 3 4x - 3y + z = 1 2x - 3y + 2z = -2 1 4 2 ? 2 -3 -3 ? 3 1 -2 ? = 4) Discuteix el següent sistema d'equacions: x + y = 3 2x + z = 7 3x + y + z = 3 Matriu dels coeficients: Rang(A)= Es tracta d'un Rang(A*)= nº de incògnites = S.C.I. A= ◜ ◝ ◟ ◞ S.C.D. 1 2 3 ? 1 0 1 ? 0 1 1 ? S.I. |A|= 5) Discuteix el següent sistema d'equacions: 2x - 1 y + 3z = 5 4x - 2y + 6z = 10 -6x + 3y - 9z = -15 Matriu de coeficients: Rang(A)= Es tracta d'un Rang(A*)= S.C.I. nº de incògnites = A= ◜ ◝ ◟ ◞ S.C.D. 2 4 -6 ? -1 -2 3 ? 3 6 -9 ? S.I. |A|= 6) Discuteix el sistema d'equacions següent: Rang(A)= Matriu dels coeficients: Es tracta d'un , 1x + 2y - 3z = 3 -1x + 5y - 5z = 5 2x - 3y + 2z =-2 Rang(A*)= S.C.I. A= ◜ ◝ ◟ ◞ S.C.D. 1 -1 2 ? 2 5 -3 ? -3 -5 2 ? S.I. |A|= |