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Aplicaciones de las derivadas. II
Contribució de: Perdiguero
Matemáticas 1º Bach - CCNN
IES Ribera del Bullaque
Aplicaciones de las derivadas II
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Matemáticas 1º Bach-CCNN
Una pieza con forma de triángulo rectángulo tiene un cateto cuya longitud es 1 m y el otro cateto mide 3 m. Determina el rectángulo de lados paralelos a los catetos y cuya área sea la mayor posible que se puede obtener de ella.
Para resolver este problema utilizamos:
La suma de dos triángulos y el rectángulo.
La suma de tres triángulos.
La suma de dos rectángulos y un triángulo.
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Aplicaciones derivadas
Matemáticas 1º Bach-CCNN
1-y
?
x
?
1.5
?
y
?
0.75
?
IES Ribera del Bullaque
0.5
?
Aplicaciones derivadas
Una vez resuelto..
3-x
?
Matemáticas 1º Bach-CCNN
halla las dimensiones de un rectángulo de área máxima, 
inscrito en una semicircunferencia de 5 cm de radio, 
sabiendo que su base está situada sobre el diámetro. 
Para resolver este problema utilizamos:
El área del círculo.
El área del triángulo.
 El teorema de Pitágoras.
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Aplicaciones derivadas
Matemáticas 1º Bach-CCNN
IES Ribera del Bullaque
Aplicaciones derivadas
Matemáticas 1º Bach-CCNN
IES Ribera del Bullaque
Utiliza el teorema de
Pitágoras.
Aplicaciones derivadas
25 =          +
y = 
Despejando la y:
2
-
2
2
Matemáticas 1º Bach-CCNN
la función Area es la que tenemos que maximizar
La derivada es: 
A(x) = 2x · (25 - x2)1/2
A ' (x ) = 
-
-
2
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2
Aplicaciones derivadas
Matemáticas 1º Bach-CCNN

Encontrar, de entre todas las rectas que

 pasan por por el punto (1, 2) aquella 

que forma con la partes positivas de los 

ejes de coordenadas un triángulo de área

 mínima.

y = 2m-1
y-2 = m (x-1)
y+2 = m (x+1)
¿Cuál es la ecuación de esa recta?
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Aplicaciones derivadas
Matemáticas 1º Bach-CCNN
2-m
?
4
?
-2/m+1
?
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Aplicaciones derivadas
Completa:
Matemáticas 1º Bach-CCNN
La función Area que queremos minimizar es:
A ' (x) = 
A(x) = 
(
-2
-x2
+
+
)
2
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(       - x) 
Aplicaciones derivadas
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Las soluciones obtenidas en el problema anterior
son: 2 y -2. ¿Cuál es la válida?
Las dos.
Ninguna
2
 -2
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¿Cuál es la función que hay que minimizar?

Descomponer el número 44 en dos sumandos 

tales que el quíntuplo del cuadrado del 

primero más el séxtuplo del cuadrado del 

segundo sea un mínimo.

x + y = 44
5x2 + 6y2
5x2 + 6y2 = 44
5x2 - 6y
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Si la función que hay que minimizar es:

S(x) = 5x2 + 6 (44 - x)2

¿Cuál es su derivada?
S ' (x) =           x - 12 (         -         ) =             x  -     
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Matemáticas 1º Bach-CCNN

Descomponer el número 44 en dos sumandos 

tales que el quíntuplo del cuadrado del 

primero más el séxtuplo del cuadrado del 

segundo sea un mínimo.

¿Cuál es la solución?
x = 20; y = 24
x = 22; y = 22
x = 24; y = 20
x = 10; y =34
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Aplicaciones derivadas
Matemáticas 1º Bach-CCNN

Recortando convenientemente en cada 

esquina de una lámina de cartón de 

dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado 

de lado x y doblando convenientemente

 (véase figura), se construye una caja.

 Calcular x para que volumen de dicha caja 

sea máximo.

(Actividad en la página 
siguiente)
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Aplicaciones derivadas
50 cm
?
Matemáticas 1º Bach-CCNN
x
?
Llamamos x al lado e.
Coloca las dimensiones.
80 - 2x
?
80 cm
?
IES Ribera del Bullaque
Aplicaciones derivadas
50 - 2x
?
Matemáticas 1º Bach-CCNN
V = (80 -        ) · (         - 2x) ·  
La función que tenemos que máximizar es:
La solución válida es:   x =

La solución no válida es:  x = 
Su derivada es: 
V' =      x2 -         x   +       
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Aplicaciones derivadas
cm
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B' (x) =         - 3(          )2 · 0.1 =             - 0.003 x2

El beneficio neto mensual, en millones de euros, 

de una empresa que fabrica autobuses viene dado 

por la función:

B(x)= 1.2x − (0.1x)3

 

donde x es el número de autobuses fabricados 

en un mes.

¿Cuál es la derivada de la función?
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¿Cuántos autobuses tienen que fabricar para
obtener el beneficio máximo?
¿Cuál es ese beneficio máximo?
B(20) = 
x = 
millones
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