ThatQuiz Biblioteca Intenteu aquesta prova
5 - Discussió i resolució de sistemes
Contribució de: Floris
(Autor original: Mayobre Antón)
Discussió i resolució de
     sistemes utilitzant
        determinants 
Recordeu que...

Si un sistema no té solució direm que es tracta d'un:

            Sistema Incompatible (S.I.)


Si té una única solució direm que és un:

            Sistema Compatible Determinat: (S.C.D.)

I quan tingui infinites solucions direm que tenim un:

            Sistema Compatible Indeterminat: (S.C.I.)

Ens cal considerar les matrius A i A*:
Si volem resoldre un sistema com:
A=

Matriu dels coeficient

1
1
2
-3
-3
1
1
1
2

 x +  y +  z = 4

2x -3y +  z = 1

 x  -3y +2z = 2

A*=
1
1
2

Matriu ampliada

-3
-3
1
1
1
2
4
1
2
Si rang(A) ≠ rang(A*)

Si A és la matriu dels coeficients, n és nombre de

incògnites i A* és la matriu ampliada d'A:

Si rang(A) = rang(A*)
Si rang(A) = rang(A*) = n
Si rang(A) = rang(A*) <n

Es tracta d'un S.C.D.

Es tracta d'un S.C.I.

Es tracta d'un S.I.

...i ara resol els
exercicis següents.
1) Discuteix i resol el següent el sistema d'equacions:
&#124;A&#124;=-6-6+1+3+3-4=-9≠0
Rang(A*)=
Es tracta d'un
Rang(A)=

 x +  y +  z = 4

2x -3y +  z = 1

 x  -3y +2z = 2

= núm. incògnites
= núm. incògnites
1
1
2
-3
-3
A
1
1
1
2
·
z
x
y
X
4
1
B
2

  x +  y +  z =

2x - 3y +  z =

  x - 3y +2z =

Calculem els valors de x, y, z (per Cramer):

x=
x=
4
1
2
&#124;A&#124;
-3
-3
1
1
1
2
4
2
1
y=
1
1
2
y=
1
1
2
&#124;A&#124;
-3
-3
4
1
2
1
1
1
2
1
1
2
z =
·
z
x
y
z=
1
1
2
-3
-3
&#124;A&#124;
4
1
1
2
4
1
2
2) Discuteix i resol el sistema següent:
A*=

  x + 2y - 3z =   3

4x - 3y +   z =   1

2x - 3y + 2z = -2

A=
◜
◟
◜
◟

1

4

2

?

1

4

2

  2

-3

-3

?

  2

-3

-3

-3

  1

  2

-3

  1

  2

?
◞
◝

  3

  1

-2

?

Matriu de coeficients

?
◞
◝
Número de incògnites =

Matriu ampliada

?
rang(A*)=
rang(A)=
&#124;A&#124;=
3) Discuteix i resol el sistema següent:
Es tracta d'un
rang(A) = rang(A*)= nº de incògnites

  x + 2y - 3z =   3

4x - 3y +   z =   1

2x - 3y + 2z = -2

Sistema Incompatible

Sistema Compatible Determinat

Sistema Compatible Indeterminat

Calculem el valor de la incògnita x:

x=

  x + 2y - 3z =   3

4x - 3y +   z =   1

2x - 3y + 2z = -2

  3

  1

-2

?

  2

-3

-3

?

-3

  1

  2

?
=

Calculem el valor de la incògnita y:

y=

  x + 2y - 3z =   3

4x - 3y +   z =   1

2x - 3y + 2z = -2

1

4

2

?

  3

  1

-2

?

-3

  1

  2

?
=

Calculem el valor de la incògnita z:

z=

  x + 2y - 3z =   3

4x - 3y +   z =   1

2x - 3y + 2z = -2

1

4

2

?

  2

-3

-3

?

  3

  1

-2

?
=

4) Discuteix el següent sistema d'equacions:

        x + y = 3

      2x + z = 7

3x + y + z = 3

Matriu dels coeficients:
Rang(A)=
Es tracta d'un
Rang(A*)=
nº de incògnites =

S.C.I.

A=
◜            ◝
◟            ◞

S.C.D.

1

2

3

?

1

0

1

?

0

1

1

?

S.I.

&#124;A&#124;=

5) Discuteix el següent sistema d'equacions:

  2x - 1 y + 3z =    5

  4x - 2y  + 6z =  10

-6x + 3y  - 9z = -15

Matriu de coeficients:
Rang(A)=
Es tracta d'un
Rang(A*)=

S.C.I.

nº de incògnites =
A=
◜            ◝
◟            ◞

S.C.D.

  2

  4

-6

?

-1

-2

  3

?

  3

  6

-9

?

S.I.

&#124;A&#124;=

6) Discuteix el sistema d'equacions següent:

Rang(A)=
Matriu dels coeficients:
Es tracta d'un
,

  1x + 2y - 3z =  3

-1x + 5y - 5z =  5

  2x - 3y + 2z =-2

Rang(A*)=

S.C.I.

A=
◜             ◝
◟             ◞

S.C.D.

  1

-1

  2

?

  2

  5

-3

?

-3

-5

  2

?

S.I.

&#124;A&#124;=
Altres proves d'interés :
Pau analisis 03
Prova creada amb That Quiz — on es fan proves de matemàtiques i altres matèries.