Sistemas de ecuaciones: Discusión y resolución por determ

Discusión y resolución de

sistemas de ecuaciones

utilizando determinantes

Discutir y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

 x +  y +  z = 4

2x -3y +  z = 1

 x  -3y +2z = 2

A
Para calcular A-1 tiene que ser A inversible.
O sea que el rango de la matriz de los coeficientes tiene que ser 3 = nº incog.
O lo que es lo mismo, el determinante de la matriz A tiene que ser  no nulo.
·
X
B
X=A-1·B
1
1
2
-3
-3
A
1
1
1
2
·
z
x
y
X
4
1
B
2
A=
Discutir y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

 x +  y +  z = 4

2x -3y +  z = 1

 x  -3y +2z = 2

Matriz de los

coeficientes

1
1
2
-3
-3
1
1
1
2
1
1
2
A*=
-3
-3
A
1
1
1
2

Matriz

ampliada

1
1
2
-3
-3
·
1
z
x
y
X
1
1
2
4
1
B
2
4
1
2

Si un sistema no tiene solución diremos que

se trata de un:

           Sistema Incompatible: S.I.

 

Si tiene una única solución diremos que

es un:

           Sistema Compatible Determinado: S.C.D.

 

Y cuando tenga infinitas soluciónes diremos que

tenemos un:

           Sistema Compatible Indeterminado: S.C.I.

Si rango(A) = rango (A*) = n
Si rango(A) ≠ rango (A*)
Si rango(A) = rango (A*)
Si rango(A) = rango (A*) <n

Si A es la matriz de los coeficientes, 

n=nº de incógnitas y A * la matriz ampliada de A.

Se trata de un S.C.D.

Se trata de un S.C.I.

Se trata de un S.I.

Discutir y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

 x +  y +  z = 4

2x -3y +  z = 1

 x  -3y +2z = 2

&#124;A&#124;=-6-6+1+3+3-4=-9≠0
Se trara de un 
Rango(A*)=
Rango(A)=
= nº de incógnitas
?
= nº de incógnitas
?
Sistema Compatible Determinado
?
1
1
2
-3
-3
A
1
1
1
2
·
z
x
y
X
4
1
B
2

  x +  y +  z =

2x - 3y +  z =

  x - 3y +2z =

Calculamos los valores de x, y, z:

x=
x=
4
1
2
&#124;A&#124;
-3
-3
1
1
1
2
4
2
1
y=
1
1
2
y=
1
1
2
&#124;A&#124;
-3
-3
4
1
2
1
1
1
2
1
1
2
z =
·
z
x
y
z=
1
1
2
-3
-3
&#124;A&#124;
4
1
1
2
4
1
2
Discutir y resolver el siguiente sistema:

  x + 2y - 3z =   3

4x - 3y +   z =   1

2x - 3y + 2z = -2

A=
A=

1

4

2

?

1

4

2

  2

-3

-3

?

  2

-3

-3

-3

  1

  2

-3

  1

  2

?

  3

  1

-2

?

Matriz de los

coeficientes

?
Número de incógnitas =

Matriz ampliada

?
rango(A*)=
&#124;A&#124;=
rango(A)=
Discutir y resolver el siguiente sistema:

  x + 2y - 3z =   3

4x - 3y +   z =   1

2x - 3y + 2z = -2

Se trata de un
rango(A)=rango(A*)=nº de incógnitas

Sistema Incompatible

Sistema Compatible Determinado

Sistema Compatible Indeterminado

Calculamos el valor de la incógnita x:

  x + 2y - 3z =   3

4x - 3y +   z =   1

2x - 3y + 2z = -2

x=

  3

  1

-2

?

  2

-3

-3

?

-3

  1

  2

?
=

Calculamos el valor de la incógnita y:

  x + 2y - 3z =   3

4x - 3y +   z =   1

2x - 3y + 2z = -2

y=

1

4

2

?

  3

  1

-2

?

-3

  1

  2

?
=

Calculamos el valor de la incógnita z:

  x + 2y - 3z =   3

4x - 3y +   z =   1

2x - 3y + 2z = -2

z=

1

4

2

?

  2

-3

-3

?

  3

  1

-2

?
=

Discutir el siguiente sistema de ecuaciones:

  x +  y          =  3

2x         +   z =  7

3x +  y  +   z =  3

Rango(A)=
Se trata de un
Matriz de los coeficientes:
Rango (A*)=
nº de incógnitas =

S.C.I.

A=
◜            ◝
◟            ◞

S.C.D.

1

2

3

?

1

0

1

?

0

1

1

?

S.I.

&#124;A&#124;=

Discutir el siguiente sistema de ecuaciones:

  2x - 1 y + 3z =    5

  4x - 2y  + 6z =  10

-6x + 3y  - 9z = -15

Rango(A)=
Se trata de un
Matriz de los coeficientes:
Rango (A*)=

S.C.I.

nº de incógnitas =
A=
◜            ◝
◟            ◞

S.C.D.

  2

  4

-6

?

-1

-2

  3

?

  3

  6

-9

?

S.I.

&#124;A&#124;=

    x - 2 y + 3z =    5

  4x - 2y  + 6z =  10

-6x + 3y  - 9z = -15

Resolución de un S.C.I.:

  2x - 1 y + 3z =    5

  4x - 2y  + 6z =  10

-6x + 3y  - 9z = -15

En este caso nos quedamos con una ecuación

Solúción:

    x = 5 +2y - 3z ,

Despejamos x, en función

de las variables y, z

Rango (A)=1
y=y,     z= z

Discutir el siguiente sistema de ecuaciones:

¿Cuáles serán los rangos de A y de  A* ?

  1x + 2y - 3z = 

-1x + 5y - 5z = 

  2x - 3y + 2z =

  1

-1

  1

-1

2

2

5

-3
=

2

5

-3

-5

 2

  3

  5

-2

=
Por lo que rango(A)≥2
nº de incógnitas =

  1

-1

2
-3

2

5

  3

  5

-2

=

Discutir el siguiente sistema de ecuaciones:

Rango(A)=

  1x + 2y - 3z =  3

-1x + 5y - 5z =  5

  2x - 3y + 2z =-2

Matriz de los coeficientes:
Se trata de un
,
Rango (A*)=

S.C.I.

A=
◜             ◝
◟             ◞

S.C.D.

  1

-1

  2

?

  2

  5

-3

?

-3

-5

  2

?

S.I.

&#124;A&#124;=

Resolvemos el sistema compatible indeterminado:

  1x + 2y - 3z =  3

-1x + 5y - 5z =  5

  2x - 3y + 2z =-2

Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones y

pasamos la z para el segundo miembro:

  1

-1

2

5

=7≠0

  1x + 2y =  3 + 3z

-1x + 5y =  5 + 5z

x=
x=

Resolvemos el sistema:

3+3z

5+5z

  1

-1

  1x + 2y =  

-1x + 5y = 

z +

2

5

2

5

y=
y=

3+3z

5+5z

  1

-1

  1

-1

z +

3+3z

5+5z

2

5

  1

-1

z= z
z= z

2

5

=
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