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Vectores en el espacio: productos de vectores x1 z1 i u=x1i+y1j+z1k j k Coordenadas de un vector: u= (x1,y1,z1) U(x1,y1,z1) y1 u·v = |u|·|v|·cos(u,v) u·v = 0 Producto escalar de dos vectores v = ( x2, y2, z2) u = ( x1, y1, z1) u·v = ( )·( ) Multiplicando resulta que ... x1·i+ y1·j+z1·k u·v = x1x2+y1y2+z1z2 v = x2·i+ y2·j+z2·k u = x1·i+ y1·j+z1·k si alguno de los vectores es el vector 0 si los vectore son no nulos x1·i+ y1·j+z1·k Calcula el producto escalar de los siguientes vectores: Producto escalar de dos vectores v = u = u·v = |u|·|v|·cos(u,v)= ( x2, y2, z2) ? ( x1, y1, z1) ? u=(2,3,4) v=(-2,3,0) v = x2·i+ y2·j+z2·k u = x1·i+ y1·j+z1·k x1x2 + y1y2 + z1z2 ? u·v = Calcula el producto escalar de los siguientes vectores: u=( 2, 3, 4) u=( 0,-3, 4) v=(-2, 0, 1) v=(-2, 3, 1) u=( 2, 3, 4) v=(-2, 3, 0) ¿Son perpendiculares? u·v = los vectores son perpendiculares ? u·v = los vectores no son perpendiculares ? u·v = No Sí Interpretación geométrica del producto escalar v = ( x2, y2, z2) u = ( x1, y1, z1) u·v = |u|·|v|·cos(u,v) proyec(uv) ◝ u α u = x1·i+ y1·j+z1·k ? v = x2·i+ y2·j+z2·k ? =|u|·proyec(uv) v Interpretación geométrica del producto escalar Módulo del producto escalar proyec(uv) |u·v|=Área del rectángulo proyec(uv) ◝ u α v Ángulo que forman dos vectores v = ( x2, y2, z2) u = ( x1, y1, z1) u·v = |u|·|v|·cos(u,v) ◝ u α v = x2·i+ y2·j+z2·k u = x1·i+ y1·j+z1·k v cos(u,v) = |u|·|v| u·v Dados los vectores: Calcula: u= ( 2,-1, 3) |u|= cos(u,v)= resultado con cuatro decimales v=(-1, 4, 10) |v|= álgulo que forman los vectores u y v u·v= Producto vectorial de dos vectores Sean u y v dos vectores no nulos y no proporcionales. W = Módulo del producto vectorial uxv v |uxv| = |u|·|v|·sen(u,v) uxv sentido el de un sacacorchos girando de u a v u |v|·sen(u,v) vector perpendicular a los vectore u y v |uxv|=Área del paralelogramo que forman u y v = x1·y1·i x j + x1·z1·i x k + y1·x1·jxi +y1·z1·jxk + z1·x1·kxi+z1·y1·kxj = Producto vectorial de dos vectores |uxv| = |u|·|v|·sen(u,v) uxv = ( )x( ) = v = ( x2, y2, z2) u = ( x1, y1, z1) ◡ k x1·i+ y1·j+z1·k ◡ -j v = x2·i+ y2·j+z2·k u = x1·i+ y1·j+z1·k ◡ -k x1·i+ y1·j+z1·k ◡ i ◡ j i k j ◡ -i uxv = Producto vectorial de dos vectores |uxv| = |u|·|v|·sen(u,v) v = ( x2, y2, z2) u = ( x1, y1, z1) i· -j· +k· = y1 z1 y2 z2 x1 z1 x2 z2 v = x2·i+ y2·j+z2·k u = x1·i+ y1·j+z1·k x1 y1 x2 y2 x1 y1 z1 x2 y2 z2 i j k Producto vectorial de dos vectores u=(2,3,4) v = ( x2, y2, z2) v=(-2,3,0) u = ( x1, y1, z1) uxv = = ( ) i + ( ) j + ( )k -2 3 0 ? i j k 2 3 4 ? v = x2·i+ y2·j+z2·k u = x1·i+ y1·j+z1·k Producto mixto de tres vectores w = ( x2, y2, z2) u = ( x1, y1, z1) v = ( x2, y2, z2) [u,v,w] = u·(vxw) = |u|·|vxw|·cos(u, vxw) w = x3·i+ y3·j+z3·k u = x1·i+ y1·j+z1·k v = x2·i+ y2·j+z2·k [u,v,w]=x1· -y1· +z1· [u,v,w]=(x1·i+ y1·j+z1·k)· Producto mixto de tres vectores w = ( x2, y2, z2) u = ( x1, y1, z1) v = ( x2, y2, z2) y2 z2 y3 z3 x2 z2 x3 z3 w = x3·i+ y3·j+z3·k u = x1·i+ y1·j+z1·k v = x2·i+ y2·j+z2·k ( ) y2 z2 y3 z3 x2 y2 x3 y3 i- j+ k x2 z2 x3 z3 = det(u,v,w) x2 y2 x3 y3 = Producto mixto de tres vectores w = ( x2, y2, z2) u = ( x1, y1, z1) v = ( x2, y2, z2) [u,v,w]=u·(vxw) = x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 w = x3·i+ y3·j+z3·k u = x1·i+ y1·j+z1·k v = x2·i+ y2·j+z2·k |u|·cos (u,vxw)=|u|·sen( α )= altura del paralelepípedo Interpretación geométrica del producto mixto [u,v,w] = u·(vxw) = |vxw| ◝ u α w |u|·|vxw|·cos(u, vxw) altura del paralelepípedo v Volumen del paralelepípedo = módulo del producto mixto |vxw| ◝ módulo del producto mixo Interpretación geométrica del producto mixto [u,v,w] = u·(vxw) = al volumen del paralelepídedo formado por los vectores u, v y w u w v Calcula el producto mixto de los vectores w = ( 6, -2, 3) u = ( -2, 3, 4) v = ( 0, 4, -3) [u,v,w]=u·(vxw) = 0 4 -3 ? 6 -2 3 ? -2 3 4 ? = Producto escalar j · k = i · j = k · k = i j k Producto vectorial k x j = i x j = i x k = Indica si son verdadedas o falsas las siguientes afirmaciones, (V o F): u·(v+w) = u·v + u·w (2,3,1) x (1,3,2) = (3,-3,3) (2,3,1)·(1, 3,2) = 12 k·(u·v) = (k·u)·v u·(v+w) = u·v + w (1,3,2) x (2,3,1) = (-3,3,-3) u·(v+w) = v +u· w u x (v+w) = u x v + u x w (2,3,1)·(1, 3,2) = 13 (k·u) x v = k·(u x v) Indica si son verdadedas o falsas las siguientes afirmaciones, (V o F): [u,v,w] = [v,w,u] [u,v,w] = - [v,u,w] u x v = v x u u·v = v·u u·u = |u|2 u x v = - (v x u) |u x v| = | v x u| |-3i| = -3 [u,v,w] = [w,v,u] j x i = k |