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Matemáticas 1º Bach - CCNN IES Ribera del Bullaque Aplicaciones de las derivadas II Clic en OK para empezar Matemáticas 1º Bach-CCNN Una pieza con forma de triángulo rectángulo tiene un cateto cuya longitud es 1 m y el otro cateto mide 3 m. Determina el rectángulo de lados paralelos a los catetos y cuya área sea la mayor posible que se puede obtener de ella. Para resolver este problema utilizamos: La suma de dos triángulos y el rectángulo. La suma de tres triángulos. La suma de dos rectángulos y un triángulo. IES Ribera del Bullaque Aplicaciones derivadas Matemáticas 1º Bach-CCNN 1-y ? x ? 1.5 ? y ? 0.75 ? IES Ribera del Bullaque 0.5 ? Aplicaciones derivadas Una vez resuelto.. 3-x ? Matemáticas 1º Bach-CCNN halla las dimensiones de un rectángulo de área máxima, inscrito en una semicircunferencia de 5 cm de radio, sabiendo que su base está situada sobre el diámetro. Para resolver este problema utilizamos: El área del círculo. El área del triángulo. El teorema de Pitágoras. IES Ribera del Bullaque Aplicaciones derivadas Matemáticas 1º Bach-CCNN IES Ribera del Bullaque Aplicaciones derivadas Matemáticas 1º Bach-CCNN IES Ribera del Bullaque Utiliza el teorema de Pitágoras. Aplicaciones derivadas 25 = + y = Despejando la y: 2 - 2 2 Matemáticas 1º Bach-CCNN la función Area es la que tenemos que maximizar La derivada es: A(x) = 2x · (25 - x2)1/2 A ' (x ) = - - 2 IES Ribera del Bullaque 2 Aplicaciones derivadas Matemáticas 1º Bach-CCNN Encontrar, de entre todas las rectas que pasan por por el punto (1, 2) aquella que forma con la partes positivas de los ejes de coordenadas un triángulo de área mínima. y = 2m-1 y-2 = m (x-1) y+2 = m (x+1) ¿Cuál es la ecuación de esa recta? IES Ribera del Bullaque Aplicaciones derivadas Matemáticas 1º Bach-CCNN 2-m ? 4 ? -2/m+1 ? IES Ribera del Bullaque Aplicaciones derivadas Completa: Matemáticas 1º Bach-CCNN La función Area que queremos minimizar es: A ' (x) = A(x) = ( -2 -x2 + + ) 2 IES Ribera del Bullaque ( - x) Aplicaciones derivadas Matemáticas 1º Bach-CCNN Las soluciones obtenidas en el problema anterior son: 2 y -2. ¿Cuál es la válida? Las dos. Ninguna 2 -2 IES Ribera del Bullaque Aplicaciones derivadas Matemáticas 1º Bach-CCNN ¿Cuál es la función que hay que minimizar? Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo. x + y = 44 5x2 + 6y2 5x2 + 6y2 = 44 5x2 - 6y2 IES Ribera del Bullaque Aplicaciones derivadas Matemáticas 1º Bach-CCNN Si la función que hay que minimizar es: S(x) = 5x2 + 6 (44 - x)2 ¿Cuál es su derivada? S ' (x) = x - 12 ( - ) = x - IES Ribera del Bullaque Aplicaciones derivadas Matemáticas 1º Bach-CCNN Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo. ¿Cuál es la solución? x = 20; y = 24 x = 22; y = 22 x = 24; y = 20 x = 10; y =34 IES Ribera del Bullaque Aplicaciones derivadas Matemáticas 1º Bach-CCNN Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo. (Actividad en la página siguiente) IES Ribera del Bullaque Aplicaciones derivadas 50 cm ? Matemáticas 1º Bach-CCNN x ? Llamamos x al lado e. Coloca las dimensiones. 80 - 2x ? 80 cm ? IES Ribera del Bullaque Aplicaciones derivadas 50 - 2x ? Matemáticas 1º Bach-CCNN V = (80 - ) · ( - 2x) · La función que tenemos que máximizar es: La solución válida es: x = La solución no válida es: x = Su derivada es: V' = x2 - x + IES Ribera del Bullaque Aplicaciones derivadas cm Matemáticas 1º Bach-CCNN B' (x) = - 3( )2 · 0.1 = - 0.003 x2 El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses viene dado por la función: B(x)= 1.2x − (0.1x)3
donde x es el número de autobuses fabricados en un mes. ¿Cuál es la derivada de la función? IES Ribera del Bullaque Aplicaciones derivadas Matemáticas 1º Bach-CCNN ¿Cuántos autobuses tienen que fabricar para obtener el beneficio máximo? ¿Cuál es ese beneficio máximo? B(20) = x = millones IES Ribera del Bullaque Aplicaciones derivadas |