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Teoría computacional de números
  • 1. La teoría computacional de números es una rama de las matemáticas que se centra en el uso de algoritmos y técnicas informáticas para estudiar y resolver problemas relacionados con los números. Implica la utilización de herramientas computacionales para analizar conceptos y fenómenos de la teoría de números, como los números primos, la factorización, la aritmética modular y los esquemas criptográficos. Mediante el uso de métodos computacionales, los investigadores y matemáticos pueden explorar cuestiones complejas de teoría de números, desarrollar algoritmos eficientes para resolver problemas matemáticos y analizar el comportamiento de diversas secuencias y propiedades numéricas. La teoría computacional de números desempeña un papel crucial en la criptografía moderna, el cifrado de datos y la seguridad de los sistemas de comunicación digital, lo que la convierte en un área de estudio fundamental tanto en matemáticas como en informática.

    ¿Qué algoritmo se utiliza habitualmente para hallar el máximo común divisor (MCD) de dos números enteros?
A) Búsqueda binaria
B) Pequeño teorema de Fermat
C) Tamiz de Eratóstenes
D) Algoritmo euclidiano
  • 2. ¿Para qué se utiliza el Teorema Chino del Resto en la teoría computacional de números?
A) Cálculo de factoriales
B) Encontrar números primos
C) Convertir decimales en fracciones
D) Resolución de sistemas de congruencias simultáneas
  • 3. ¿Cuál es el número primo más pequeño?
A) 5
B) 2
C) 1
D) 3
  • 4. ¿Qué cuenta la función Totiente de Euler?
A) Número de divisores de n
B) Número de enteros positivos menores que n que son coprimos de n
C) Número de factores primos de n
D) Recuento de números pares menores que n
  • 5. ¿Qué es el teorema de Wilson?
A) ¡El producto de k números consecutivos cualesquiera es divisible por k!
B) La suma de números impares consecutivos es siempre par
C) Todo número es un factorial de otro número
D) p es un número primo si y sólo si (p-1)! ≡ -1 (mod p)
  • 6. ¿Cuántos números primos hay entre 1 y 20 (ambos inclusive)?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
  • 7. ¿Qué teorema afirma que todo número entero par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos?
A) Conjetura de Goldbach
B) Teorema de Pitágoras
C) Problema P vs NP
D) Último teorema de Fermat
  • 8. ¿Qué es una prima Sophie Germain?
A) El primo p tal que 2p + 1 también es primo
B) Número primo mayor que 100
C) Prima cuya raíz cuadrada es prima
D) Prime con sólo 1 factor
  • 9. ¿Cuál es el uso común de la prueba de primalidad de Miller-Rabin?
A) Hallar el GCD de dos números
B) Ordenar números en orden descendente
C) Cálculo de la sucesión de Fibonacci
D) Comprobación de la primalidad de los números grandes
  • 10. ¿Cómo se denomina un número que no tiene más divisores positivos que 1 y él mismo?
A) Número par
B) Número impar
C) Número compuesto
D) Número primo
  • 11. ¿Qué es un primo de Mersenne?
A) Número primo con exactamente 2 factores
B) Número primo que es uno menos que una potencia de 2
C) Cuadrado perfecto que es primo
D) Número primo mayor que 1000
  • 12. ¿Para qué sirve la función divisora σ(n)?
A) Número de números perfectos menores que n
B) Suma de todos los divisores positivos de n
C) Número de factores primos de n
D) Valor de la función Totiente de Euler de n
  • 13. ¿Qué indica el valor del símbolo de Legendre (a/p), donde p es un primo impar?
A) Valor de la función f(a, p) = ap
B) Número de divisores de p+a
C) Número de soluciones de la ecuación a2 = p (mod m)
D) Indica si a es un residuo cuadrático módulo p
  • 14. ¿Qué es un número Niven?
A) Número par inferior a 10
B) Número perfecto con factores primos
C) Número primo mayor que 100
D) Número entero divisible por la suma de sus dígitos
  • 15. ¿Cómo se define la función de Mobius para un número entero positivo n?
A) μ(n) = 1 si n es par y 0 si n es impar.
B) μ(n) = -1 si n es primo y 0 en caso contrario.
C) μ(n) = 1 si n es un número entero positivo libre de cuadrados con un número par de factores primos distintos, μ(n) = -1 si n es libre de cuadrados con un número impar de factores primos, y μ(n) = 0 si n tiene un factor primo al cuadrado.
D) μ(n) = n2 - n para cualquier número entero positivo n
  • 16. ¿Qué concepto de la teoría de números implica encontrar soluciones enteras a ecuaciones lineales en múltiples variables?
A) Teorema de Euler
B) Números perfectos
C) Ecuaciones diofantinas
D) Ecuación de Pell
  • 17. ¿Cuál es el orden del grupo de enteros módulo 7 bajo multiplicación módulo 7?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 7
  • 18. ¿Cuál es el valor de φ(12), donde φ es la función totiente de Euler?
A) 6
B) 8
C) 4
D) 10
  • 19. ¿Cuál es el orden de 2 módulo 11?
A) 11
B) 9
C) 10
D) 5
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