|
Queremos construir un edificio de planta rectangular nunha parcela circular de 6 m de radio. ¿Canto poderá medir a superficie de cada planta, se queremos ocupar a maior cantidade de parcela posible? Problema 1 y m x m m Calcular o área do maior rectángulo iscrito nunha cicunferenciade radio 6m. 6 m 6 m x 6 m 6 m y Área = base·altura; A(x,y)= x·y Relación entre x e y Polo que a función área, en función de x será... y = 144 -x2 x2+y2 =( )2 A(x)= x· 144 -x2 = 144x2-x4 Temos que buscar os "x" : A'(x) = 0 e A''(x)<0 Este problema resólvese maximizando a función: A'(x)= 0 para: A(x)= x= 6·√2 x=-6·√2 x= √72 x=3 144x2-x4 Quedarán m2 de zonas verdes. A planta do edificio medirá ... m2 Aproxima ás unidades Problema 2 Queremos inscribir un rectángulo de área máxima nun invernadoiro semicircular de radio 3 m, ver fig.1 Función área: A(x,y)= 2x·y Relación entre x e y: x2+y2=32 Función a maximizar: A(x) =2x·√9-x2 fig.1 3m x m y m x>0 Redondea ás centésimas: Función a maximizar: A(x) =2x·√9-x2 A'(x)= O rectángulo terá m de lango O rectángulo terá m de ancho A'(x)=0 para x= Simplifica esta expresión 0 --- 3 2 --- --- 3·√2 -3·√2 2 2 Queremos cubrir un cilindro de 2m de radio e 4 m de altura cunha capa de terra de forma cónica, como indica a figura. ¿Cales serán as dimensións para que o volume de terra sexa mínimo? Problema 3 y 2 m ? 4 m ? Radio do cono = x+2 Altura o cono = y+4 x Relación entre x e y: 2 ? y 4 x Volume a minimizar=Vol. cono - Vol . cilindro y 2 m ? 4 m ? x Relación entre x e y: 2 ? y = y = 4 x V(x)= As solucións da ecuación: V'(x)=0 son -2 y 2 m ? -1 4 m ? x V''(x)>0 para x = 1 Dimensións do cono: Radio = m Altura= m 2 Unha compañía quere unir dous pobos, A e B cunha tubería, o costo é un 30% máis caro baixo a auga que por terra. ¿Como debe ser o percorrido que minimice o costo da construcción? Problema 4 200 m A E C 800 m F D Masa de auga B O problema redúcese a unir C con D cun costo mínimo: C E Dominio(C(x))={x:0≤x≤800} Función costo: 200 m x m √x2+2002 a (1,3·k) € o metro F k > 0 a k € o metro (800-x) m D C'(x)= O coste será mínimo para os puntos: C'(x)=0 para os valores de x: < C'(x)= < 0 = 0 > 0 , con C''(x) - + < 0 = 0 > 0 O costo ascendeu a: 200 m C E Aproxima os resultados ás centésimas a (1,3·k) € o metro m m F ( ) a k € o metro ·k m D € As fotos foron sacadas de: |