Productos de vectores

Vectores en el espacio:

productos de vectores

x1
z1
i
u=x1i+y1j+z1k
j
k
Coordenadas de un vector:
u= (x1,y1,z1)
U(x1,y1,z1)
y1
u·v = |u|·|v|·cos(u,v)
u·v = 0
Producto escalar de dos vectores
v = ( x2, y2, z2)
u = ( x1, y1, z1)
u·v = (                              )·(                              )
Multiplicando resulta que ...

x1·i+ y1·j+z1·k

u·v = x1x2+y1y2+z1z2

v = x2·i+ y2·j+z2·k

u = x1·i+ y1·j+z1·k

si alguno de los vectores es el vector 0
si los vectore son no nulos

x1·i+ y1·j+z1·k

Calcula el producto escalar de los siguientes vectores:
Producto escalar de dos vectores
v =
u =
u·v = |u|·|v|·cos(u,v)=
( x2, y2, z2)
?
( x1, y1, z1)
?
u=(2,3,4)
v=(-2,3,0)

v = x2·i+ y2·j+z2·k

u = x1·i+ y1·j+z1·k

x1x2 + y1y2 + z1z2
?
u·v =
Calcula el producto escalar de los siguientes vectores:
u=( 2, 3, 4)
u=( 0,-3, 4)
v=(-2, 0, 1)
v=(-2, 3, 1)
u=( 2, 3, 4)
v=(-2, 3, 0)
¿Son perpendiculares?
u·v =
los vectores son perpendiculares
?
u·v =
los vectores no son perpendiculares
?
u·v =

No

Interpretación geométrica del producto escalar

v = ( x2, y2, z2)
u = ( x1, y1, z1)
u·v = |u|·|v|·cos(u,v)
proyec(uv)
u
α

u = x1·i+ y1·j+z1·k

?

v = x2·i+ y2·j+z2·k

?
=|u|·proyec(uv)
v

Interpretación geométrica del producto escalar

Módulo del producto escalar
proyec(uv)

|u·v|=Área

        del

        rectángulo

proyec(uv)
u
α
v

Ángulo que forman dos vectores

v = ( x2, y2, z2)
u = ( x1, y1, z1)
u·v = |u|·|v|·cos(u,v)
u
α

v = x2·i+ y2·j+z2·k

u = x1·i+ y1·j+z1·k

v
cos(u,v) =
|u|·|v|
u·v

Dados los vectores:

Calcula:
u= ( 2,-1, 3)
|u|=
cos(u,v)=

resultado con cuatro decimales

v=(-1, 4, 10)
|v|=

álgulo que forman

los vectores u y v

u·v=
Producto vectorial de dos vectores
Sean u y v dos vectores no nulos y no proporcionales.
W =

Módulo del

producto vectorial

uxv
v
|uxv| = |u|·|v|·sen(u,v)
uxv
sentido el de un sacacorchos girando de u a v
u
|v|·sen(u,v)
vector perpendicular a los vectore u y v

|uxv|=Área del

          paralelogramo

          que forman u y v

= x1·y1·i x j + x1·z1·i x k + y1·x1·jxi +y1·z1·jxk + z1·x1·kxi+z1·y1·kxj =
Producto vectorial de dos vectores
|uxv| = |u|·|v|·sen(u,v)
uxv = (                              )x(                              ) =
v = ( x2, y2, z2)
u = ( x1, y1, z1)
k

x1·i+ y1·j+z1·k

-j

v = x2·i+ y2·j+z2·k

u = x1·i+ y1·j+z1·k

-k

x1·i+ y1·j+z1·k

i

j

i
k
j
-i
uxv =
Producto vectorial de dos vectores
|uxv| = |u|·|v|·sen(u,v)
v = ( x2, y2, z2)
u = ( x1, y1, z1)
i·        -j·        +k·         =

y1  z1

y2  z2

x1  z1

x2  z2

v = x2·i+ y2·j+z2·k

u = x1·i+ y1·j+z1·k

x1  y1

x2  y2

 x1  y1  z1
xyz2
i    j    k
Producto vectorial de dos vectores
u=(2,3,4)
v = ( x2, y2, z2)
v=(-2,3,0)
u = ( x1, y1, z1)
uxv =                 =  (         ) i + (         ) j + (         )k
-2   3   0
?
i    j    k
2   3   4
?

v = x2·i+ y2·j+z2·k

u = x1·i+ y1·j+z1·k

Producto mixto de tres vectores
w = ( x2, y2, z2)
u = ( x1, y1, z1)
v = ( x2, y2, z2)
[u,v,w] = u·(vxw) = |u|·|vxw|·cos(u, vxw)

w = x3·i+ y3·j+z3·k

u = x1·i+ y1·j+z1·k

v = x2·i+ y2·j+z2·k

[u,v,w]=x1·            -y1·          +z1·
[u,v,w]=(x1·i+ y1·j+z1·k)·
Producto mixto de tres vectores
w = ( x2, y2, z2)
u = ( x1, y1, z1)
v = ( x2, y2, z2)

y2  z2

y3  z3

x2  z2

x3  z3

w = x3·i+ y3·j+z3·k

u = x1·i+ y1·j+z1·k

v = x2·i+ y2·j+z2·k

(      )

y2  z2

y3  z3

x2  y2

x3  y3

i-        j+        k

x2  z2

x3  z3

= det(u,v,w)

x2  y2

x3  y3

=
Producto mixto de tres vectores
w = ( x2, y2, z2)
u = ( x1, y1, z1)
v = ( x2, y2, z2)
[u,v,w]=u·(vxw) =
xyz1
xyz2
xyz3

w = x3·i+ y3·j+z3·k

u = x1·i+ y1·j+z1·k

v = x2·i+ y2·j+z2·k

|u|·cos (u,vxw)=|u|·sen( α )= altura del paralelepípedo

Interpretación geométrica del producto mixto

[u,v,w] = u·(vxw)  =
|vxw|

u

α

w

|u|·|vxw|·cos(u, vxw)
altura del paralelepípedo

v

Volumen del paralelepípedo

= módulo del producto mixto

|vxw|

módulo del

producto mixo

Interpretación geométrica del producto mixto

[u,v,w] = u·(vxw)  =  al volumen del

                                  paralelepídedo

                                  formado por

                                  los vectores  u, v y w

u

w

v

Calcula el producto mixto de los vectores
w = (  6, -2,  3)
u = ( -2,  3,  4)
v = (   0,  4, -3)
[u,v,w]=u·(vxw) =
   0   4  -3
?
   6  -2   3
?
 -2   3   4
?
=
Producto escalar
j · k =
i · j =
k · k =
i
j
k
Producto vectorial
k x j =
i x j  =
i x k =

Indica si son verdadedas o falsas las siguientes

afirmaciones, (V o F):

u·(v+w) = u·v + u·w
(2,3,1) x (1,3,2) = (3,-3,3)
(2,3,1)·(1, 3,2) = 12
k·(u·v) = (k·u)·v
u·(v+w) = u·v + w
(1,3,2) x (2,3,1)   = (-3,3,-3)
u·(v+w) = v +u· w
u x (v+w) = u x v + u x w
(2,3,1)·(1, 3,2) = 13
(k·u) x v = k·(u x v)

Indica si son verdadedas o falsas las siguientes

afirmaciones, (V o F):

[u,v,w]  = [v,w,u]

[u,v,w] = - [v,u,w]
u x v = v x u
u·v = v·u
u·u = |u|2
u x v = - (v x u)
|u x v| = | v x u|
|-3i| = -3
[u,v,w] = [w,v,u]
j x i = k
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