Geometría analítica en el espacio_2

GEOMETRÍA ANALÍTICA

     EN EL ESPACIO

Ecuaciones de una recta en el espacio
Ecuaciones de un plano en el espacio
Perpendicular común a dos rectas
Ecuaciónes de una recta en el espacio
r
a
A(x1,y1,z1)
ECUACIÓN VECTORIAL
x
AB
=
a
+
x
AX
B(x2,y2,z2)
=
a
+
AB
X(x,y,z)
Ecuaciónes de una recta en el espacio
r
a
A(x1,y1,z1)
AB

ECUACIONES

PARAMÉTRICAS

DE LA RECTA

x
B(x2,y2,z2)
ECUACIÓN VECTORIAL
x

x = x1 + t (x2-x1)

y = y1 + t (y2-y1)

z = z1 + t (z2-z1)

=
a
X(x,y,z)
+
AB
Ecuaciónes de una recta en el espacio

x = x1 + t (x2-x1)

x

y = y1 + t (y2-y1)

z = z1 + t (z2-z1)

x2-x1

x-x1

=
a
+
y2-y1

y-y1

AB
z2-z1

z-z1

ECUACIÓN VECTORIAL

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

Despejando el

parámetro t e igualando...

ECUACIÓN CONTINUA

DE LA RECTA

Calcula las ecuaciones de la recta que pasa por

los puntos A(2,1,3) y B(-2,4,0):

Tomemos como  como punto de la recta "A" y como vector director AB

AB=
Ecuación vectorial 
Ecuaciónes paramétricas
(   ,   ,   )

(x,y,z)

?
x =
y =
z =
=
(2,1,3)
?
2-4t
?
1+3t
?
3-3t
?
+t·
(   ,   ,   )
Ecuación continua

Calcula las ecuaciones de la recta que pasa por

los puntos A(2,1,3) y B(-2,4,0):

Ecuaciónes paramétricas

x-

x =
y =
z =

y-

1+3t
3-3t
2-4t

z-

x2-x1
Ecuaciónes de una recta en el espacio
A'x+B'y+C'z+D'=0

x-x1

Ax+By+Cz+D=0

x = x1 + t (x2-x1)

x

y = y1 + t (y2-y1)

z = z1 + t (z2-z1)

=
a
+
y2-y1

y-y1

AB
z2-z1

z-z1

ECUACIÓN VECTORIAL

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

Ecuaciones de dos planos

secantes, se cortan en la recta "r"

ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA

( 3, 4, 0) x ( 0,-3,-3)=
( 3, 4, 0) x (-3, 0, 4)=
Vector director de la recta AB=(-4,3,-3) = v
( 0,-3,-3) x ( -3, 0, 4)=
Ecuación continua
π: 3x+4y-10=0
μ: -3y-3z+12=0
λ: -3x+4z-6=0

x - 2

-4

Ecuaciones de tres planos secantes en la recta

que pasa por los puntos dados A, B.

Comprobemos que los productos vectoriales de

los vectores normales de los planos son

proporcionales al vector director de la recta.

(         ,         ,         )=         ·v
(         ,         ,         )=         ·v
(         ,         ,         )=         ·v

y - 1

3

z - 3

-3
Ecuaciónes de un plano en el espacio
a
A(x1,y1,z1)
v
ECUACIÓN VECTORIAL
x
x
AX
=
u
a
C(x3,y3,z3)
+
AX
B(x2,y2,z2)
=
a
+
λ·
u
X(x,y,z)
+μ·
v
Ecuaciónes de un plano en el espacio

ECUACIÓNES

PARAMÉTRICAS

a
A(x1,y1,z1)
v
AX
u
C(x3,y3,z3)
x

x = x1+λ(x2-x1)+μ(x3-x1)

y = y1+λ(y2-y1)+μ(y3-y1)

z = z1+λ(z2-z1)+μ(z3-z1)

B(x2,y2,z2)
x
=
a
+
X(x,y,z)
λ·
u
+μ·
v
A(x1,y1,z1)

Calculando el determinante resulta la ecuación:

v
AB
u
C(x3,y3,z3)

x = x1+λ(x2-x1)+μ(x3-x1)=x1+λ(ux)+μ(vx)

z = z1+λ(z2-z1)+μ(z3-z1))=x1+λ(uz)+μ(vz)

y = y1+λ(y2-y1)+μ(y3-y1))=x1+λ(uy)+μ(vy)

B(x2,y2,z2)
X(x,y,z)
X-X1    Y-Y1    Z-Z1

Ux   U  Uz

Vx   V  Vz

ECUACIÓN CONTÍNUA
Ax+By+Cz+D=0

Los vectores   u,  v,  AX

son linealmente

dependientes

=0

Calcula las ecuaciónes paramétricas del plano π

que pasa por el punto A(2,3,1) y tiene por

vectores directores  u =(1,0,2) y v =(0,-1,-2)

El vector n=(A,B,C) es el vector normal del plano

El producto vectorial  u x v  es proporcional al vector n

y=   3+λ·(      0)+μ·(   -1)
z=   1+λ·(      2)+μ·(   -2)
x=   2+λ·(     1)+μ·(     0)

Calcula la ecuación continua del plano π

que pasa por el punto A(2,3,1) y tiene por

vectores directores  u =(1,0,2) y v =(0,-1,-2)

Ecuación general del plano
x-2   y-3  z-1
0     -1     -2
1      0       2
π:(       )·x + (         )·y +(         )·z +(          )= 0
=0
Operando tenemos...

Comprueba que el palno π pasa por el punto A(2,3,1)

y que el producto vectorial de los vectores directores

u =(1,0,2) y v =(0,-1,-2) es proporcional al vector

n= (2,2,-1)

π=2x+2y-z-9=0
u x v =
2·2+2·3-1·1-9 =
1   0   2
?
0 -1 -2
?
i    j    k
?
=
(     ,     ,     )
A ∉ π

A ∊ π

Proyección ortogonal de un punto sobre un plano

Calculamos la recta "r" perpendicular a π 

pasando por P

π:Ax+By+Cz+D=0
n=(A,B,C)
r
P'

P

= P∩
r

Calcula la proyección ortogonal del punto P(1,0,3)

sobre el plano π:2x-3y+2z-1=0

Ecuación continua de la recta perpendicular a π ,

pasando por P

r:
r:
x -(       )

-3x-2y+3=0

-2y+3z-9=0

y -(       )
z -(       )
π:  2x-3y+2z-1=0

Calculamos la intersección del plano π y la recta r

x=
r:

-3x-2y+3=0

-2y+3z-9=0

-3

  0

  2

-3

  9

  1

-2

-2

-3

-2

-2

-3

0

3

2

0

3

2

Coordenadas de punto
=
y=

-3

  0

  2

-3

  0

  2

-2

-2

-3

-3

  9

  1

0

3

2

0

3

2

=
z=
P' = r ∩ π

-3

  0

  2

-3

  0

  2

-2

-2

-3

-2

-2

-3

-3

  9

  1

0

3

2

=
π':
Proyección ortogonal de una recta sobre un plano

A     B    C

Ux   Uy   Uz

x-x1  y-yz-z1
n=(A,B,C)
r'=π∩π'
=0
r
π
u
π'
π'

Calculamos el plano π'

perpendicular a π  y que

contiene a la recta r

π:Ax+By+Cz+D=0

P(x1,y1,z1)

X(x,y,z)
π
r':

Calcula la proyección ortogonal de la recta r sobre

el plano π: -2x+2y+1z-3=0

r:

La proyección ortogonal de la recta r sobre el plano π es:   π ∩ π'

Vector normal de π:

Ecuación del plano"π' " perpendicular a π

y que contiene a r

π : -2x+2y+1z-3=0
π' : (     )·x + (     )·y + (     )·z + (      ) = 0
x-( -1 )
2
=
y-( 2 )
-2
n=
(   ,   ,   )
=
z-( 1 )

1

π' :
v=
x+1 y-2  z-1

-2   2   1

 2  -2  1

(   ,   ,   )

Vector director de  "r"

= 0

Calcula la proyección ortogonal de la recta r sobre

el plano π: 3x-4y+4z+2=0

r:
Vector normal de π:
Calculamos un punto de la recta r. Resolvemos el S.C.I.
Para z=0 tenemos el punto de la recta P
x=

x+y+z-2=0

2x-y-z+0=0

-z+2

  z

1

2

  1

-1

  1

-1

=
n=
v=(1,1,1)x(2,-1,1)=

Vector director de  "r"

(   ,   ,   )
y=

1

2

1

2

-z+2

  z

  1

-1

P(    ,     ,    )
=

2

3

(   ,   ,   )
-z

4

3

x+y+z-2=0

2z-y-z+0=0

0
z= z
r':
Calculemos el plano  π' perpendicular a π y que contiene a la recta r

La proyección ortogonal de la recta r sobre el plano π es:  

π' :
π : 3x-4y+4z+2=0
π' : (     )·x +(       )·y +(      )·z + (      ) = 0
x-
2        1       -3
3      -4         4

2

3

y-

4

3

r' = π ∩ π'
z-0
= 0
Perpenducular común a dos rectas que se cruzan
t= π ∩ π'
s
r
ur x us
As
Ar
90º
π': det(ArP,ur, UrxUs)=0
P
π: det(AsP,us, UrxUs)=0
90º
ur

us

π'
π
Calcula la perpendicular común a las rectas r y s
Sea P(x,y,z) un punto genérico de la perpendicular
r:
AsP= p- as =
ArP= p- ar =

ur x us =

(      ,      )
Ar(2,3,-1)
 i      j      k
?
1     1     2
?
2     4     0
?
(   ,   ,   )
(   ,   ,   )
Ur=(2,4,0)
=
(   ,   ,   )
s:
(      ,      )
As(-2,1,1)
Us=(1,1,2)
π: det(AsP,us, UrxUs)=0
π': det(ArP,ur, UrxUs)=0
π' : (     )·x +(       )·y +(      )·z + (      ) = 0
π : (     )·x +(       )·y +(      )·z + (      ) = 0
x+2   y-1   z-1
x-2   y-3   z+1
  1       1       2
  2       4       0
8     -4      -2
8     -4      -2
= 0
= 0
t= π ∩ π'
π : 6x + 18 y -12 z + 6 = 0
π': -8x + 4y -40z -36 = 0
Comprueba que nπxnπ' es proporcional a ur x us 
Vector normal  nπ'=
Vector normal  nπ=
nπxnπ' =
i       j       k
(   ,   ,   )
(   ,   ,   )
=
·(  ,  ,  )
ur x us
Intereseko beste azterketa batzuk :

Azterketa honekin sortua That Quiz — matematikaren praktika erraza egiten den tokia.