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Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones utilizando determinantes Discutir y resolver el siguiente sistema de ecuaciones: x + y + z = 4 2x -3y + z = 1 x -3y +2z = 2 A Para calcular A-1 tiene que ser A inversible. O sea que el rango de la matriz de los coeficientes tiene que ser 3 = nº incog. O lo que es lo mismo, el determinante de la matriz A tiene que ser no nulo. · X B X=A-1·B 1 1 2 -3 -3 A 1 1 1 2 · z x y X 4 1 B 2 A= Discutir y resolver el siguiente sistema de ecuaciones: x + y + z = 4 2x -3y + z = 1 x -3y +2z = 2 Matriz de los coeficientes 1 1 2 -3 -3 1 1 1 2 1 1 2 A*= -3 -3 A 1 1 1 2 Matriz ampliada 1 1 2 -3 -3 · 1 z x y X 1 1 2 4 1 B 2 4 1 2 Si un sistema no tiene solución diremos que se trata de un: Sistema Incompatible: S.I.
Si tiene una única solución diremos que es un: Sistema Compatible Determinado: S.C.D.
Y cuando tenga infinitas soluciónes diremos que tenemos un: Sistema Compatible Indeterminado: S.C.I. Si rango(A) = rango (A*) = n Si rango(A) ≠ rango (A*) Si rango(A) = rango (A*) Si rango(A) = rango (A*) <n Si A es la matriz de los coeficientes, n=nº de incógnitas y A * la matriz ampliada de A. Se trata de un S.C.D. Se trata de un S.C.I. Se trata de un S.I. Discutir y resolver el siguiente sistema de ecuaciones: x + y + z = 4 2x -3y + z = 1 x -3y +2z = 2 |A|=-6-6+1+3+3-4=-9≠0 Se trara de un Rango(A*)= Rango(A)= = nº de incógnitas ? = nº de incógnitas ? Sistema Compatible Determinado ? 1 1 2 -3 -3 A 1 1 1 2 · z x y X 4 1 B 2 x + y + z = 2x - 3y + z = x - 3y +2z = Calculamos los valores de x, y, z: x= x= 4 1 2 |A| -3 -3 1 1 1 2 4 2 1 y= 1 1 2 y= 1 1 2 |A| -3 -3 4 1 2 1 1 1 2 1 1 2 z = · z x y z= 1 1 2 -3 -3 |A| 4 1 1 2 4 1 2 Discutir y resolver el siguiente sistema: x + 2y - 3z = 3 4x - 3y + z = 1 2x - 3y + 2z = -2 A= A= ◜ ◟ ◜ ◟ 1 4 2 ? 1 4 2 2 -3 -3 ? 2 -3 -3 -3 1 2 -3 1 2 ? ◞ ◝ 3 1 -2 ? Matriz de los coeficientes ? ◞ ◝ Número de incógnitas = Matriz ampliada ? rango(A*)= |A|= rango(A)= Discutir y resolver el siguiente sistema: x + 2y - 3z = 3 4x - 3y + z = 1 2x - 3y + 2z = -2 Se trata de un rango(A)=rango(A*)=nº de incógnitas Sistema Incompatible Sistema Compatible Determinado Sistema Compatible Indeterminado Calculamos el valor de la incógnita x: x + 2y - 3z = 3 4x - 3y + z = 1 2x - 3y + 2z = -2 x= 3 1 -2 ? 2 -3 -3 ? -3 1 2 ? = Calculamos el valor de la incógnita y: x + 2y - 3z = 3 4x - 3y + z = 1 2x - 3y + 2z = -2 y= 1 4 2 ? 3 1 -2 ? -3 1 2 ? = Calculamos el valor de la incógnita z: x + 2y - 3z = 3 4x - 3y + z = 1 2x - 3y + 2z = -2 z= 1 4 2 ? 2 -3 -3 ? 3 1 -2 ? = Discutir el siguiente sistema de ecuaciones: x + y = 3 2x + z = 7 3x + y + z = 3 Rango(A)= Se trata de un Matriz de los coeficientes: Rango (A*)= nº de incógnitas = S.C.I. A= ◜ ◝ ◟ ◞ S.C.D. 1 2 3 ? 1 0 1 ? 0 1 1 ? S.I. |A|= Discutir el siguiente sistema de ecuaciones: 2x - 1 y + 3z = 5 4x - 2y + 6z = 10 -6x + 3y - 9z = -15 Rango(A)= Se trata de un Matriz de los coeficientes: Rango (A*)= S.C.I. nº de incógnitas = A= ◜ ◝ ◟ ◞ S.C.D. 2 4 -6 ? -1 -2 3 ? 3 6 -9 ? S.I. |A|= x - 2 y + 3z = 5 4x - 2y + 6z = 10 -6x + 3y - 9z = -15 Resolución de un S.C.I.: 2x - 1 y + 3z = 5 4x - 2y + 6z = 10 -6x + 3y - 9z = -15 En este caso nos quedamos con una ecuación Solúción: x = 5 +2y - 3z , Despejamos x, en función de las variables y, z Rango (A)=1 y=y, z= z Discutir el siguiente sistema de ecuaciones: ¿Cuáles serán los rangos de A y de A* ? 1x + 2y - 3z = -1x + 5y - 5z = 2x - 3y + 2z = 1 -1 1 -1 2 2 5 -3 = 2 5 -3 -5 2 3 5 -2 = Por lo que rango(A)≥2 nº de incógnitas = 1 -1 2 -3 2 5 3 5 -2 = Discutir el siguiente sistema de ecuaciones: Rango(A)= 1x + 2y - 3z = 3 -1x + 5y - 5z = 5 2x - 3y + 2z =-2 Matriz de los coeficientes: Se trata de un , Rango (A*)= S.C.I. A= ◜ ◝ ◟ ◞ S.C.D. 1 -1 2 ? 2 5 -3 ? -3 -5 2 ? S.I. |A|= Resolvemos el sistema compatible indeterminado: 1x + 2y - 3z = 3 -1x + 5y - 5z = 5 2x - 3y + 2z =-2 Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones y pasamos la z para el segundo miembro: 1 -1 2 5 =7≠0 1x + 2y = 3 + 3z -1x + 5y = 5 + 5z x= x= Resolvemos el sistema: 3+3z 5+5z 1 -1 1x + 2y = -1x + 5y = z + 2 5 2 5 y= y= 3+3z 5+5z 1 -1 1 -1 z + 3+3z 5+5z 2 5 1 -1 z= z z= z 2 5 = |