Théorie informatique des nombres

1. La théorie computationnelle des nombres est une branche des mathématiques qui se concentre sur l'utilisation d'algorithmes et de techniques informatiques pour étudier et résoudre les problèmes liés aux nombres. Elle implique l'utilisation d'outils informatiques pour analyser les concepts et phénomènes de la théorie des nombres, tels que les nombres premiers, la factorisation, l'arithmétique modulaire et les schémas cryptographiques. Grâce à l'utilisation de méthodes informatiques, les chercheurs et les mathématiciens peuvent explorer des questions complexes liées à la théorie des nombres, développer des algorithmes efficaces pour résoudre des problèmes mathématiques et analyser le comportement de diverses séquences et propriétés de nombres. La théorie informatique des nombres joue un rôle crucial dans la cryptographie moderne, le cryptage des données et la sécurité des systèmes de communication numérique, ce qui en fait un domaine d'étude fondamental tant en mathématiques qu'en informatique.

Quel algorithme est couramment utilisé pour trouver le plus grand diviseur commun (PGCD) de deux nombres entiers ?

A) Recherche binaire
B) Tamis d'Eratosthène
C) Algorithme euclidien
D) Le petit théorème de Fermat

2. Quelle est l'utilité du théorème chinois des restes dans la théorie des nombres ?

A) Résolution de systèmes de congruences simultanées
B) Trouver les nombres premiers
C) Calcul des factorielles
D) Conversion des décimales en fractions

3. Quel est le plus petit nombre premier ?

A) 5
B) 2
C) 3
D) 1

4. Que compte la fonction Totient d'Euler ?

A) Nombre d'entiers positifs inférieurs à n qui sont coprimes à n
B) Nombre de diviseurs de n
C) Nombre de facteurs premiers de n
D) Nombre de nombres pairs inférieurs à n

5. Qu'est-ce que le théorème de Wilson ?

A) La somme de nombres impairs consécutifs est toujours paire
B) p est un nombre premier si et seulement si (p-1) ! ≡ -1 (mod p)
C) Tout nombre est une factorielle d'un autre nombre
D) Le produit de k nombres consécutifs quelconques est divisible par k !

6. Combien y a-t-il de nombres premiers entre 1 et 20 (inclus) ?

A) 9
B) 8
C) 7
D) 6

7. Quel théorème énonce que tout nombre entier pair supérieur à 2 peut être exprimé comme la somme de deux nombres premiers ?

A) Théorème de Pythagore
B) Dernier théorème de Fermat
C) Conjecture de Goldbach
D) Problème P vs NP

8. Qu'est-ce qu'une prime Sophie Germain ?

A) Premier p tel que 2p + 1 est également premier
B) Prime dont la racine carrée est prime
C) Nombre premier supérieur à 100
D) Prime avec un seul facteur

9. Quelle est l'utilisation courante du test de primalité de Miller-Rabin ?

A) Calculer la suite de Fibonacci
B) Trier les nombres par ordre décroissant
C) Trouver le PGCD de deux nombres
D) Vérification de la primalité des grands nombres

10. Comment appelle-t-on un nombre qui n'a pas d'autres diviseurs positifs que 1 et lui-même ?

A) Nombre pair
B) Nombre impair
C) Nombre composé
D) Nombre premier

11. Qu'est-ce qu'un nombre premier de Mersenne ?

A) Nombre premier supérieur à 1000
B) Prime avec exactement 2 facteurs
C) Carré parfait qui est premier
D) Nombre premier inférieur d'une unité à une puissance de 2

12. Quel est le calcul de la fonction diviseur σ(n) ?

A) Fonction d'Euler Totient valeur de n
B) Somme de tous les diviseurs positifs de n
C) Nombre de facteurs premiers de n
D) Nombre de nombres parfaits inférieurs à n

13. Qu'indique la valeur du symbole de Legendre (a/p), où p est un nombre premier impair ?

A) Nombre de solutions à l'équation a² = p (mod m)
B) Nombre de diviseurs de p+a
C) Valeur de la fonction f(a, p) = a^p
D) Indique si a est un résidu quadratique modulo p

14. Qu'est-ce qu'un numéro Niven ?

A) Nombre premier supérieur à 100
B) Nombre pair inférieur à 10
C) Nombre parfait avec facteurs premiers
D) Nombre entier divisible par la somme de ses chiffres

15. Comment la fonction de Möbius est-elle définie pour un entier positif n ?

A) μ(n) = -1 si n est premier et 0 sinon
B) μ(n) = 1 si n est pair et 0 si n est impair
C) μ(n) = 1 si n est un entier positif sans carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts, μ(n) = -1 si n est sans carré avec un nombre impair de facteurs premiers, et μ(n) = 0 si n a un facteur premier au carré.
D) μ(n) = n² - n pour tout entier positif n

16. Quel concept de la théorie des nombres consiste à trouver des solutions entières à des équations linéaires à plusieurs variables ?

A) L'équation de Pell
B) Equations diophantiennes
C) Des chiffres parfaits
D) Théorème d'Euler

17. Quel est l'ordre du groupe des entiers modulo 7 sous la multiplication modulo 7 ?

A) 5
B) 7
C) 4
D) 6

18. Quelle est la valeur de φ(12), où φ est la fonction totient d'Euler ?

A) 4
B) 8
C) 10
D) 6

19. Quel est l'ordre de 2 modulo 11 ?

A) 9
B) 11
C) 5
D) 10

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