Processus stochastique

1. Un processus stochastique est un objet mathématique composé d'une collection de variables aléatoires, généralement indexées par le temps. Il représente l'évolution d'un système dans le temps lorsque l'incertitude ou le caractère aléatoire intervient dans le comportement du système. Les processus stochastiques sont utilisés dans divers domaines tels que la finance, la physique, la biologie et l'ingénierie pour modéliser des phénomènes aléatoires et analyser leurs propriétés. Ces processus peuvent être classés en différents types en fonction de leurs propriétés, telles que le temps discret ou le temps continu, le stationnaire ou le non-stationnaire, et le markovien ou le non-markovien, fournissant ainsi un cadre puissant pour étudier et comprendre les systèmes complexes influencés par le hasard.

Qu'est-ce qu'un processus stochastique ?

A) Un processus qui reste constant dans le temps.
B) Processus aléatoire évoluant dans le temps.
C) Un processus déterministe avec des résultats fixes.
D) Un processus qui ne se déroule que par étapes distinctes.

2. Quel est l'espace d'état d'un processus stochastique ?

A) Valeur exacte du processus à un moment donné.
B) Valeur moyenne du processus dans le temps.
C) Ensemble de toutes les valeurs possibles que le processus peut prendre.
D) Valeur maximale que le processus peut atteindre.

3. Dans un processus de Poisson, quelle est la distribution des temps d'attente ?

A) Distribution exponentielle
B) Distribution de Bernoulli
C) Distribution uniforme
D) Distribution normale

4. Quelle est la fonction d'autocorrélation d'un processus stochastique ?

A) Moyenne du processus dans le temps.
B) Corrélation maximale possible pour le processus.
C) Forme exacte du processus à un moment donné.
D) Mesure de la corrélation entre les valeurs à différents moments.

5. Lequel des éléments suivants n'est PAS un type de processus stochastique ?

A) Processus géométrique
B) Processus déterministe
C) Mouvement brownien
D) Processus de Markov

6. Qu'implique l'ergodicité dans le contexte des processus stochastiques ?

A) L'analyse à court terme est suffisante pour comprendre le comportement à long terme.
B) Aucune conclusion ne peut être tirée quant au comportement à long terme.
C) Le comportement est totalement aléatoire.
D) Le comportement moyen à long terme peut être déduit d'une seule réalisation.

7. Qu'est-ce que la loi des grands nombres dans le contexte des processus stochastiques ?

A) Le caractère aléatoire diminue avec le nombre d'observations.
B) Au fur et à mesure que le nombre d'observations augmente, les moyennes des échantillons convergent vers les valeurs attendues.
C) Les moyennes des échantillons s'écartent des valeurs attendues.
D) Les valeurs attendues varient en fonction du nombre d'observations.

8. Quel est le rôle d'une matrice de transition dans une chaîne de Markov ?

A) Spécifie l'état final du processus.
B) Détermine l'état initial du processus.
C) Décrit les probabilités de déménager dans différents États.
D) Calcule le temps moyen passé dans chaque État.

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