Processus stochastique

1. Un processus stochastique est un objet mathématique composé d'une collection de variables aléatoires, généralement indexées par le temps. Il représente l'évolution d'un système dans le temps lorsque l'incertitude ou le caractère aléatoire intervient dans le comportement du système. Les processus stochastiques sont utilisés dans divers domaines tels que la finance, la physique, la biologie et l'ingénierie pour modéliser des phénomènes aléatoires et analyser leurs propriétés. Ces processus peuvent être classés en différents types en fonction de leurs propriétés, telles que le temps discret ou le temps continu, le stationnaire ou le non-stationnaire, et le markovien ou le non-markovien, fournissant ainsi un cadre puissant pour étudier et comprendre les systèmes complexes influencés par le hasard.

Qu'est-ce qu'un processus stochastique ?

A) Un processus qui ne se déroule que par étapes distinctes.
B) Un processus déterministe avec des résultats fixes.
C) Processus aléatoire évoluant dans le temps.
D) Un processus qui reste constant dans le temps.

2. Quel est l'espace d'état d'un processus stochastique ?

A) Valeur moyenne du processus dans le temps.
B) Valeur exacte du processus à un moment donné.
C) Valeur maximale que le processus peut atteindre.
D) Ensemble de toutes les valeurs possibles que le processus peut prendre.

3. Dans un processus de Poisson, quelle est la distribution des temps d'attente ?

A) Distribution exponentielle
B) Distribution normale
C) Distribution uniforme
D) Distribution de Bernoulli

4. Quelle est la fonction d'autocorrélation d'un processus stochastique ?

A) Corrélation maximale possible pour le processus.
B) Moyenne du processus dans le temps.
C) Mesure de la corrélation entre les valeurs à différents moments.
D) Forme exacte du processus à un moment donné.

5. Lequel des éléments suivants n'est PAS un type de processus stochastique ?

A) Processus de Markov
B) Mouvement brownien
C) Processus déterministe
D) Processus géométrique

6. Qu'implique l'ergodicité dans le contexte des processus stochastiques ?

A) Le comportement moyen à long terme peut être déduit d'une seule réalisation.
B) Le comportement est totalement aléatoire.
C) L'analyse à court terme est suffisante pour comprendre le comportement à long terme.
D) Aucune conclusion ne peut être tirée quant au comportement à long terme.

7. Qu'est-ce que la loi des grands nombres dans le contexte des processus stochastiques ?

A) Les moyennes des échantillons s'écartent des valeurs attendues.
B) Le caractère aléatoire diminue avec le nombre d'observations.
C) Les valeurs attendues varient en fonction du nombre d'observations.
D) Au fur et à mesure que le nombre d'observations augmente, les moyennes des échantillons convergent vers les valeurs attendues.

8. Quel est le rôle d'une matrice de transition dans une chaîne de Markov ?

A) Détermine l'état initial du processus.
B) Spécifie l'état final du processus.
C) Décrit les probabilités de déménager dans différents États.
D) Calcule le temps moyen passé dans chaque État.

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