Processus stochastique

1. Un processus stochastique est un objet mathématique composé d'une collection de variables aléatoires, généralement indexées par le temps. Il représente l'évolution d'un système dans le temps lorsque l'incertitude ou le caractère aléatoire intervient dans le comportement du système. Les processus stochastiques sont utilisés dans divers domaines tels que la finance, la physique, la biologie et l'ingénierie pour modéliser des phénomènes aléatoires et analyser leurs propriétés. Ces processus peuvent être classés en différents types en fonction de leurs propriétés, telles que le temps discret ou le temps continu, le stationnaire ou le non-stationnaire, et le markovien ou le non-markovien, fournissant ainsi un cadre puissant pour étudier et comprendre les systèmes complexes influencés par le hasard.

Qu'est-ce qu'un processus stochastique ?

A) Processus aléatoire évoluant dans le temps.
B) Un processus qui ne se déroule que par étapes distinctes.
C) Un processus déterministe avec des résultats fixes.
D) Un processus qui reste constant dans le temps.

2. Quel est l'espace d'état d'un processus stochastique ?

A) Valeur moyenne du processus dans le temps.
B) Ensemble de toutes les valeurs possibles que le processus peut prendre.
C) Valeur maximale que le processus peut atteindre.
D) Valeur exacte du processus à un moment donné.

3. Dans un processus de Poisson, quelle est la distribution des temps d'attente ?

A) Distribution exponentielle
B) Distribution de Bernoulli
C) Distribution normale
D) Distribution uniforme

4. Quelle est la fonction d'autocorrélation d'un processus stochastique ?

A) Mesure de la corrélation entre les valeurs à différents moments.
B) Corrélation maximale possible pour le processus.
C) Moyenne du processus dans le temps.
D) Forme exacte du processus à un moment donné.

5. Lequel des éléments suivants n'est PAS un type de processus stochastique ?

A) Mouvement brownien
B) Processus de Markov
C) Processus géométrique
D) Processus déterministe

6. Qu'implique l'ergodicité dans le contexte des processus stochastiques ?

A) Aucune conclusion ne peut être tirée quant au comportement à long terme.
B) Le comportement est totalement aléatoire.
C) Le comportement moyen à long terme peut être déduit d'une seule réalisation.
D) L'analyse à court terme est suffisante pour comprendre le comportement à long terme.

7. Qu'est-ce que la loi des grands nombres dans le contexte des processus stochastiques ?

A) Les valeurs attendues varient en fonction du nombre d'observations.
B) Le caractère aléatoire diminue avec le nombre d'observations.
C) Au fur et à mesure que le nombre d'observations augmente, les moyennes des échantillons convergent vers les valeurs attendues.
D) Les moyennes des échantillons s'écartent des valeurs attendues.

8. Quel est le rôle d'une matrice de transition dans une chaîne de Markov ?

A) Spécifie l'état final du processus.
B) Calcule le temps moyen passé dans chaque État.
C) Détermine l'état initial du processus.
D) Décrit les probabilités de déménager dans différents États.

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