|
Un contraste de hipótese é un procedimento para decicir si unha hipótese é aceptada como válida ou rechazada. "afirmación que sefai acerca dunha ou varias características dunha poboación" CONTRASTE DE HIPÓTESE Exemplo 2: Xuño 2011 - Galicia - Opción B 4) Coñécese que a renda por persoa declarada por tódolos cidadáns dun país segue aproximadamente unha distribución normal con media 10840 euros e desviación típica 2700 euros. Co obxecto de analizar a renda dos contribuíntes domiciliados nunha certa Administración de Facenda, tomouse unha mostra aleatoria de 400 declaracións, obténdose unha renda media de 10500 euros por persoa. Se se supón que se mantén a desviación típica, (a) formula un test para contrastar a hipótese de que a renda media das declaracións presentadas na Administración é a mesma que a global para todo o país, fronte a que é menor tal como parece indicar a mostra e explica claramente a que conclusión se chega, cun nivel de significación do 1% (b) calcula un intervalo do 98% de confianza para a renda media dos contribuíntes da citada Administración. Paso 1: Paso 3: Paso 4: Paso 6: Paso 2: Paso 5: Paso 7: Pasos a realizar nun CONTRASTE DE HIPÓTESE Especificar a hipótese nula H0 e alternativa H1. Establecer a rexión crítica ou rexión de rechazo. Tomar a decisión estatística de acordo co valor experimental. Fixar un nivel de significación. Determinar o estatístico de proba apropiado e a súa distribución. Avaliar o estatístico de proba baixo H0 certa. Sacar conclusións. Interpretación. P(Rexeitar H0|H0 certa) Sexa "X= renda, en €, dun contribuinde desa Administración" Sexa "Y= renda, en €, por persoa dun cidadán dun país" Y≡N(μy=10840, σy=2700) Sexa x a renda media X≡N(μ, σy=2700) X≡N ( ) μ , √n σ (a) formula un test para contrastar a hipótese de que a das declaracións presentadas na Administración é a mesma que a global para todo o país, fronte a que é menor tal como parece indicar a mostra e explica claramente a que conclusión se chega, cun nivel de significación do 1% renda media no noso caso n = Sexa x a renda media X≡N ( ) μ , √n σ Dúas son as hipóteses que se contrastan: RECORDAR: Hipótese nula (H0) Hipótese alternativa (H1) Hipótese que se acepta cando se rechaza H0. Hipótese na que se basea o procedimento de contraste. 1º Paso: (a) formula un test para contrastar a hipótese de que a renda media das declaracións presentadas na Administración é a mesma que a global para todo o país, fronte a que é menor tal como parece indicar a mostra e explica claramente a que conclusión se chega, cun nivel de significación do 1% Especificamos Formulamos Sexa “μ =renda media dos contribuintes ” Hipótese nula Hipótese alternativa Ho : ? H1 : ? μ 10840 μ 10840 ≥ ? < ? Unilateral de cola dereita CONTRASTE PARA A MEDIA MOSTRAL RECORDAR: Unilateral de cola esquerda Contraste Bilateral H0: μ≥μ0 ? Hipótese nula H1: μ=μ0 H0: μ≤μ0 Hipótese alternativa H1: μ≠μ0 H1: μ<μ0 ? H1: μ>μ0 Rexión de aceptación (-zα/2,zα/2) (-zα,+∞) ? (-∞,zα) ? (a) formula un test para contrastar a hipótese de que a renda media das declaracións presentadas na Administración é a mesma que a global para todo o país, fronte a que é menor tal como parece indicar a mostra e explica claramente a que conclusión se chega, 2º Paso: No noso caso α = Fixamos un nivel de significicación α = P(rechazar Ho | Ho é certa) cun nivel de significación do 1% nivel de significación do % Para realizar o contraste dunha hipótese seleccionamos unha ao chou dunha e cos valores da mesma trataremos de tomar unha decisión. poboación ? mostra ? RECORDAR: Tomamos mostras de tamaño n dunha poboación x: xi≡N(μ,σ) Sexa xn a media mostral. Distribución das madias mostrais xn ≡ N ( ) μ, xn= √ σ n ∑ i=1 n n xi 3º Paso: Determinamos o estatístico de proba apropiado e a súa distribución mostral: Estatístio de proba: xn - √ σ n μ ∿ N(0,1) 4º Paso: Determinamos a rexión crítica ou rexión de rechazo. RECORDAR: Rexión de aceptación. O conxunto de valores do estadístico de contraste que nos levan a aceptar a hiótese núla. ? Rexión crítica. O conxunto de valores do estadístico de contraste que nos levan a rexeitar a hiótese núla (e aceptar a alternativa). ? Contraste unilateral á dereita Contraste unilateral á esquerda Contraste bilateral Neste exemplo temos un contraste... Rexión de aceptación (Aceptamos H0) Rexión crítica (Rechazamos H0) Rexión crítica (Rechazamos H0) valor crítico -zα valor crítico -zα/2 Rexión de aceptación (Aceptamos H0) Rexión de aceptación (Aceptamos H0) valor crítico zα/2 valor crítico zα Rexión crítica (Rechazamos H0) Rexión crítica (Rechazamos H0) 4º Paso: Determinamos a rexión crítica ou rexión de rechazo. P ( z>-z 0,01)= zona de aceptación P ( z<-z 0,01)= Rexión crítica: (-∞, ) -Z0,01 = 5º Paso: Avaliar o estatístico de proba “baixo a hipótese H0 certa”: zexperimental = Estatístio de proba: xn= - xn - √ σ n μ = ∿ N(0,1) 6º Paso: Tomamos a decisión estatística de acordo co valor experimental. Decisión: zexp = ∊ (-∞, ) Rexión crítica ? -Z0,01 = Rexión de aceptación ? Rexeito H0 Acepto H0 RECORDAR: Erro de tipo II ≡ Erro de tipo I ≡ A probabilidade de cometer un erro de tipo I chámase . P(rechazar H0 | H0 verdadeira ) = α ? P(aceptar H0 | H0 verdadeira ) =1- α ? P(aceptar H0 | H0 falsa) = β ? P(rechazar H0 | H0 falsa) = 1- β ? nivel de significación ? Erro que se comete ao rexeitar H0, sendo H0 certa. Erro que se comete ao aceptar H0, sendo H0 falsa. potencia do contraste nivel de confianza Podemos cometer dous tipos de erros: Erro de tipo I ≡ Erro de tipo II ≡ zexp = Afirmaríamos que a renda media das declaracións presentadas na Administración é menor que a global para todo o país. ? Afirmaríamos que a mostra non ten razón, cando realmente sí a ten. ? Rexión crítica ? -Z0,01 = Erro que se comete ao rexeitar H0, sendo H0 certa Erro que se comete ao aceptar H0, sendo H0 falsa. Rexión de aceptación ? 7º Paso: Interpretación. Cos datos desta mostra e con risco de é a hipótese alternativa "μ<10840". A renda media das declaracións presentadas na Administración é menor que a global para todo o país, sendo o último risco de equivocarnos, ante esta afirmación, do valor-P "P-valor" É dicir, dun % < 1% (nivel significación), sendo polo tanto o test moi significativo. P-valor = P(z< ) =1- P(z≤ ) = certa falsa 0,00587 nivel de significación α= (b) calcula un intervalo do 98% de confianza para a renda media dos contribuíntes da citada Administración. nivel de confianza 1-α = α/2 = Intervalo de confianza para a renda media: P ( ) x - z α/2 √n σ , x - z α/2 √n σ z = 0,01 =1-α Intervalo de confiana: Conclusión: x =10500 En base á mostra dada, estímase cun 98% de confianza, que a renda media por persoa da citada Administración está entre ∗ euros e ∗ euros. z α/2 P √n ( ) σ x - z = α/2 z · 0,01 √n σ erro máximo, radio do intervalo de confianza √400 2700 ( , ) , x +z = α/2 2,33·135= √n σ = Exemplo 3: Setembro 2011 - Galicia - Opción A 4) A información que ofrece o editor dunha escala de madurez na poboación de estudantes de ensino secundario, sinala que as puntuacións na escala seguen unha distribución normal con media 5 e desviación típica 2. A escala ten xa 10 anos, o que fai sospeitar a un educador que o promedio da escala poidera aumentar no momento actual. Para comprobalo, selecciona unha mostra aleatoria de 49 estudantes de ensino secundario e tras pasarlles a proba obtén unha media de 5,6. Supoñendo que se mantén a desviación típica, (a) formula un test para contrastar que a puntuación media non aumentou, fronte a que si o fixo tal como sospeita o educador e explica a que conclusión se chega, cun nivel de significación do 5% (b) utilizando a mostra dada, calcula o intervalo da puntuación media dos estudantes de secundaria no momento actual, cunha confianza do 95%. |