Teoria dei gruppi

1. La teoria dei gruppi è una branca dell'algebra astratta che si occupa dello studio di strutture matematiche chiamate gruppi. Un gruppo è un insieme dotato di un'operazione che combina due elementi qualsiasi per produrre un terzo elemento in modo tale da soddisfare alcune proprietà, come la chiusura, l'associatività, l'elemento identità e l'invertibilità. La teoria dei gruppi trova applicazione in diversi campi, tra cui la matematica, la fisica, la chimica e l'informatica. Fornisce un quadro di riferimento per la comprensione della simmetria, delle trasformazioni e dei modelli e ha profonde implicazioni nello studio dei gruppi di simmetria, delle rappresentazioni di gruppo e delle azioni di gruppo.

Qual è l'elemento di identità di un gruppo?

A) Un elemento del gruppo tale che, se combinato con qualsiasi altro elemento, il risultato è quell'altro elemento.
B) Un elemento che è il più grande del gruppo.
C) Un numero pari nel gruppo.
D) Un elemento che è il più piccolo del gruppo.

2. Cosa significa che un'operazione di gruppo è associativa?

A) Per tutti gli elementi a, b, c del gruppo, (a * b) * c = a * (b * c).
B) Per tutti gli elementi a, b, c del gruppo, (a + b) * c = a * (b * c).
C) Per tutti gli elementi a, b del gruppo, a = a * b.
D) Per tutti gli elementi a, b del gruppo, a * b = b * a.

3. Che cos'è il teorema di Lagrange nella teoria dei gruppi?

A) Un teorema sull'algebra lineare.
B) In un gruppo finito, l'ordine di un sottogruppo divide l'ordine del gruppo.
C) L'elemento più grande di un gruppo.
D) La somma di tutti gli elementi di un gruppo è uguale a zero.

4. Che cos'è un gruppo abeliano?

A) Un gruppo con un solo elemento.
B) Un gruppo in cui l'operazione di gruppo è commutativa.
C) Un gruppo senza elementi di identità.
D) Un gruppo in cui l'operazione è definita solo per i numeri dispari.

5. Cosa significa che un gruppo è ciclico?

A) Un gruppo generato da un singolo elemento.
B) Un gruppo in cui gli elementi possono avere più inversi.
C) Un gruppo senza elementi di identità.
D) Un gruppo senza alcuna operazione definita.

6. Qual è la definizione di centro di un gruppo?

A) La somma di tutti gli elementi di un gruppo.
B) L'insieme degli elementi che si interscambiano con ogni elemento del gruppo.
C) L'elemento più grande del gruppo.
D) L'insieme degli inversi del gruppo.

7. Qual è la definizione di ordine di un gruppo?

A) L'elemento più piccolo del gruppo.
B) L'elemento più grande del gruppo.
C) La somma di tutti gli elementi del gruppo.
D) Il numero di elementi del gruppo.

8. Qual è la definizione di omomorfismo tra due gruppi?

A) Una funzione tra due gruppi che preserva la struttura del gruppo.
B) La somma di tutti gli elementi di un gruppo.
C) L'elemento più piccolo del gruppo.
D) L'elemento più grande del gruppo.

9. Cosa significa che due gruppi sono isomorfi?

A) La somma di tutti gli elementi di un gruppo è la stessa.
B) L'elemento più piccolo dei gruppi è lo stesso.
C) L'elemento più grande del gruppo è identico.
D) I gruppi hanno la stessa struttura, anche se gli elementi possono essere etichettati in modo diverso.

10. Che cos'è un gruppo di permutazione?

A) Un gruppo con un solo elemento.
B) Un gruppo in cui gli elementi sono permutazioni di un insieme e l'operazione di gruppo è la composizione di permutazioni.
C) Un gruppo senza elementi di identità.
D) Un gruppo di numeri interi.

11. Qual è la definizione di gruppo diedro?

A) Un gruppo di numeri interi.
B) Un gruppo con un solo elemento.
C) Un gruppo senza elementi di identità.
D) Il gruppo di simmetrie di un poligono regolare.

12. Qual è la definizione di gruppo simmetrico?

A) Un gruppo senza elementi di identità.
B) Un gruppo con un solo elemento.
C) Il gruppo di tutte le permutazioni di un insieme.
D) Un gruppo di numeri interi.

13. Qual è la definizione di gruppo alternato?

A) Un gruppo senza elementi di identità.
B) Un gruppo di numeri interi.
C) Il sottogruppo del gruppo simmetrico costituito da permutazioni pari.
D) Un gruppo con un solo elemento.

14. Qual è il teorema di Cayley nella teoria dei gruppi?

A) Un teorema sull'algebra lineare.
B) La somma di tutti gli elementi di un gruppo.
C) Ogni gruppo è isomorfo a un gruppo di permutazione.
D) L'elemento più grande di un gruppo.

15. A cosa si riferisce il termine "classe di coniugazione" nella teoria dei gruppi?

A) Un gruppo senza elementi di identità.
B) Un insieme di elementi che sono tutti coniugati tra loro.
C) Un gruppo di numeri interi.
D) Un gruppo con un solo elemento.

16. Qual è la definizione di automorfismo di un gruppo?

A) Un gruppo di numeri interi.
B) Un gruppo con un solo elemento.
C) Un isomorfismo da un gruppo a se stesso.
D) Un gruppo senza elementi di identità.

17. Qual è la definizione di sottogruppo commutatore?

A) Il sottogruppo generato da tutti i commutatori.
B) L'elemento più grande del gruppo.
C) La somma di tutti gli elementi di un gruppo.
D) Un gruppo senza elementi di identità.

18. Qual è la definizione di gruppo quoziente?

A) La somma di tutti gli elementi di un gruppo.
B) Il gruppo dei cosetti di un sottogruppo normale.
C) Un gruppo senza elementi di identità.
D) L'elemento più grande del gruppo.

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