Teoria dei numeri computazionale

1. La teoria computazionale dei numeri è una branca della matematica che si concentra sull'utilizzo di algoritmi e tecniche informatiche per studiare e risolvere problemi legati ai numeri. Comporta l'utilizzo di strumenti computazionali per analizzare concetti e fenomeni della teoria dei numeri, come i numeri primi, la fattorizzazione, l'aritmetica modulare e gli schemi crittografici. Attraverso l'uso di metodi computazionali, i ricercatori e i matematici possono esplorare complesse questioni di teoria dei numeri, sviluppare algoritmi efficienti per la risoluzione di problemi matematici e analizzare il comportamento di varie sequenze di numeri e proprietà. La teoria dei numeri computazionale svolge un ruolo cruciale nella crittografia moderna, nella cifratura dei dati e nella sicurezza dei sistemi di comunicazione digitale, diventando così un'area di studio fondamentale sia per la matematica che per l'informatica.

Quale algoritmo è comunemente usato per trovare il massimo comun divisore (GCD) di due numeri interi?

A) Ricerca binaria
B) Il piccolo teorema di Fermat
C) Setaccio di Eratostene
D) Algoritmo euclideo

2. A cosa serve il teorema del rimando cinese nella teoria computazionale dei numeri?

A) Trovare i numeri primi
B) Calcolo dei fattoriali
C) Risolvere sistemi di congruenze simultanee
D) Conversione di decimali in frazioni

3. Qual è il numero primo più piccolo?

A) 5
B) 2
C) 1
D) 3

4. Che cosa conta la funzione Totiente di Eulero?

A) Numero di divisori di n
B) Numero di interi positivi minori di n che sono coprimari di n
C) Conteggio dei numeri pari inferiori a n
D) Numero di fattori primi di n

5. Che cos'è il teorema di Wilson?

A) La somma di numeri dispari consecutivi è sempre pari
B) Il prodotto di k numeri consecutivi è divisibile per k!
C) Ogni numero è un fattoriale di un altro numero
D) p è un numero primo se e solo se (p-1)! ≡ -1 (mod p)

6. Quanti sono i numeri primi compresi tra 1 e 20 (inclusi)?

A) 9
B) 7
C) 6
D) 8

7. Quale teorema afferma che ogni numero intero pari maggiore di 2 può essere espresso come somma di due numeri primi?

A) Teorema di Pitagora
B) L'ultimo teorema di Fermat
C) Problema P vs NP
D) Congettura di Goldbach

8. Che cos'è una Sophie Germain prime?

A) Numero primo superiore a 100
B) Primo la cui radice quadrata è prima
C) Un primo p tale che 2p + 1 sia anche primo
D) Primo con 1 solo fattore

9. Qual è l'uso comune del test di primalità di Miller-Rabin?

A) Trovare il GCD di due numeri
B) Calcolo della sequenza di Fibonacci
C) Ordinamento dei numeri in ordine decrescente
D) Verifica della primalità dei numeri grandi

10. Qual è il termine che indica un numero che non ha divisori positivi oltre a 1 e a se stesso?

A) Numero dispari
B) Numero composto
C) Numero primo
D) Numero pari

11. Che cos'è un primo di Mersenne?

A) Numero primo che è uno meno di una potenza di 2
B) Numero primo superiore a 1000
C) Primo con esattamente 2 fattori
D) Quadrato perfetto che è primo

12. Qual è la funzione divisore σ(n) utilizzata per calcolare?

A) Somma di tutti i divisori positivi di n
B) Valore della funzione Totiente di Eulero di n
C) Numero di numeri perfetti inferiori a n
D) Numero di fattori primi di n

13. Cosa indica il valore del simbolo di Legendre (a/p), dove p è un primo dispari?

A) Valore della funzione f(a, p) = a^p
B) Numero di soluzioni dell'equazione a² = p (mod m)
C) Numero di divisori di p+a
D) Indica se a è un residuo quadratico modulo p

14. Che cos'è un numero Niven?

A) Un numero intero divisibile per la somma delle sue cifre.
B) Numero primo superiore a 100
C) Numero perfetto con fattori primi
D) Numero pari inferiore a 10

15. Come si definisce la funzione di Mobius per un intero positivo n?

A) μ(n) = 1 se n è pari e 0 se n è dispari
B) μ(n) = 1 se n è un intero positivo privo di quadrati con un numero pari di fattori primi distinti, μ(n) = -1 se n è privo di quadrati con un numero dispari di fattori primi e μ(n) = 0 se n ha un fattore primo al quadrato
C) μ(n) = -1 se n è primo e 0 altrimenti
D) μ(n) = n² - n per qualsiasi intero positivo n

16. Quale concetto della teoria dei numeri prevede la ricerca di soluzioni intere di equazioni lineari in più variabili?

A) Equazioni diofantee
B) Equazione di Pell
C) Teorema di Eulero
D) Numeri perfetti

17. Qual è l'ordine del gruppo di interi modulo 7 sotto la moltiplicazione modulo 7?

A) 6
B) 7
C) 4
D) 5

18. Qual è il valore di φ(12), dove φ è la funzione totiente di Eulero?

A) 10
B) 4
C) 8
D) 6

19. Qual è l'ordine di 2 modulo 11?

A) 11
B) 9
C) 5
D) 10

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