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Matrices_1
Opracowany przez: Mayobre Antón
-3
-5
4
4
0
-3
6
6
4
0
1
-5
-3
4
2
Matrices
12
2
0
4
-3
1
0
1
-5
6
2
2
1
-5
12
0
4
0
12
-3
6
0
2
-3
4
0
12
6
0
-3
-5
12
1
-5
0
2

Matriz

triangular

inferior

Matriz fila

Matriz

cuadrada

Matriz rectangular

Matriz

triangular

superior

M

a

t

r

i

z

 

c

o

l

u

m

n

a

(  )
(  )
Matriz diagonal
?
Matriz escalar
?
1

0

0

2

0

0

2

0

0

2

0

0

3

0

0

2

0

0

(  )
(  )
Matriz unitaria
?
Matriz nula
?
1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

(  )
(  )
Matriz triangular superior
?
Matriz triangular inferior
?

-2

1

0

0

2

0

-3

2

0

2

3

0

3

5

0

2

0

0

( )
(       )
Matriz columna
?

0

Matriz fila
?
1

0

0

10

-3

Dada la matriz:

A=
(  )
-2
3
1
-4
7
2

-A =

-3
-1
0
(  )

Calcular su

matriz opuesta

-1

?

-3

?

2

?
-2
?
-7
?
4
?
3
?
0
?
1
?

Dada la matriz:

A=
(  )
-2
3
1
-4
7
2
-3
-1

At =

0
(  )

Calcular su

matriz traspuesta

7
?
1
?
0
?
-1
?
3
?
2
?
-4
?
-3
?
-2
?
Suma de matrices

Dadas las matrices:

Calcular  A + B
A=
(  )
-2
1
3
-4
7
2
-1
-3
0

A + B =

B=
(  )
(  )
-3

8

3

-5

6

4

1

0

5

Calcular 2· A

Dadas las matrices:

A=
(  )
-2
1
3
-4
7
2
-1
-3
0

2·A =

Producto

por un número

(  )
Calcular  2A - 3B

Dadas las matrices:

A=
(  )
-2
1
3
-4
7
2
-1
-3
0

2A -3 B =

B=
(  )
(  )
-3

8

3

-5

6

4

1

0

5

Producto de matrices
Calcular  A·B

Dadas las matrices:

A=
(  )
-2
1
3
-4
7
2
-1
-3
0

A·B =

B=
(  )
(  )
-3

8

3

-5

6

4

1

0

5

(  )

Escritura de un

sistema de ecuaciones

en forma matricial

-3

8

3

-5

6

4

1

0

5

( )

x

y

z

  3x - 5y      =  4

-3x+ 4y+5z=-5

  8x+ 6y+ z =  3

( )

  4

-5

  3

(  )

Escritura en forma matricial

el siguiente sistema de

ecuaciones

-4

?
-3
?

2

?

-2

?

-5

?

4

?

-1

?

5

?

0

?
( )

x

y

z

  -4x - 2y -  z    =  0

  -3x + 4y +5z  = 15

    2x - 5y          = -2

( )
Matriz inversa: A-1
A=

(  )

(  )

-3
-3
1
1
3
2
3
2

(  )

Matriz inversa
c
a
I=
d
b

(  )

1

0

(  )

0

1

1

0

A·A-1=A-1·A=I

0

1

(       )

(  )

-3a+2c
a+3c
-3
1
Efectuamos el producto
3
2
Matriz inversa
-3b+2d

(  )

b+3d
c
a
d
b

(  )

(  )

1

0

1

0

0

1

0

1

(       )

-3a+2c=0
-3b+2d=1
-3a+2c
a+3c=1
b+3d=0
a+3c
-3b+2d
b+3d
Matriz inversa
-3b+2d=1
-3a+2c=0
3b+9d=0
3a+9c=3

(  )

1

0

11d=1
11c=3

0

1

a=1-3c=2/11
b=-3d=-3/11
Igualamos
c=3/11
d=1/11
A=

Comprobación:

(  )

(  )

-3
-3
1
1

A

3
2
3
2

(    )

Matriz inversa
Matriz inversa: A-1=

3/11

2/11

A·A-1=A-1·A=I
A-1

-3/11

1/11

(  )

(    )

I

3/11

2/11

-3/11

1/11

A·X+B·X=C
(A+B)-1·(A+B)·X=(A+B)-1·C
X·A+B=C
Ecuaciónes matriciales
(A+B)·X=C
X=(A+B)-1·C
?
X=(C-B)·A-1
?
X·A=C-B

Multiplicando por

la matriz inversa de

(A+B) por la

X·A·A-1=(C-B)·A-1
{

Izquierda

Derecha

X·A+B=C
A·X=B
Ecuaciónes matriciales
X·A=C-B

Multiplicando por la matriz

inversa de A por la

X=(C-B)·A-1
?
A-1·A·X=A-1·B
X=A-1·B
?
X·A·A-1=(C-B)·A-1
{

Izquierda

Derecha

I·X=A-1·B
A·X-2·B=4·C
A·X=B
Ecuaciónes matriciales
A-1·A·X=A-1·B
X=A-1·(4·C+2·B)
?
A-1·A·X=A-1·(4·C+2·B)
A·X=4·C+2·B
X=A-1·B
?
(  )

Escritura de un

sistema de ecuaciones

en forma matricial

-3

8

3

A

-5

6

4

1

0

5

( )
A·X=B

X

x

y

z

  3x - 5y      =  4

-3x+ 4y+5z=-5

  8x+ 6y+ z =  3

( )

  4

-5

  3

B

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