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Considera los vectores u (1,1,1), v (2, 2,a) y w (2,0,0). a) Halla los valores de a para los que los vectores u, v y w son linealmente independientes: b) Determina los valores de a para los que los vectores u + v y u - w son ortogonales: c) Escribe ordenados de menor a mayor todos los valores que no son solución de los anteriores apartados: ⇢ ⇢ ⇢ a=-3 ? a≠0 ? ⇢ a=3 ? ⇢ ⇢ ⇢ a≠2 ? a=-1 ? Sabiendo que las rectas r y s se cruzan, halla los puntos A y B de r y s que están a la mínima distancia. Halla también esa distancia. r : x = y = z s: Recta que pasa por el punto (1,3,0) y tiene como vector dirección (1,1,-1) ( , , ) Distancia: d= Punto A: √ ( , , ) Punto B: Considera la recta r y los planos π1 y π2 siguientes: r pasa por (1,-1,0) y su dirección es: (2,1,3) π1 pasa por (0,0,-3) y su vector normal es: (1,1,1) π2 pasa por (-3,0,-6) y son vectores directores (1,-1,0) y (0,1,-1), halla: a) El punto P de r que tiene por coordenada x, 3: b) La posición relativa de π1 y π2 . c) El punto Q que pertenece a r y equidista de los dos planos P( , , ) Q( , , ) Secantes Paralelos Coincidentes Ninguna es correcta Considera la recta r y el plano π dadas por: a) Determina la posición relativa de r y π. b) Dados los puntos B (4, 4, 4) y C (0, 0, 0) , halla un punto A en la recta r de manera que el triángulo formado por los puntos A, B y C sea rectángulo en B. a) r: Recta y plano se cortan Rectas y plano son paralelos Recta contenida en el plano Ninguna es cierta. { x=t y=t z=0 π: { x=α y=α z=β b) A: ( , , ) Se sabe que el plano π corta a los semiejes positivos de coordenadas en los puntos A, B y C, siendo las longitudes de los segmentos OA, OB y OC de 4 u, donde O es el origen de coordenadas. a) Halla la ecuación del plano π . b) Calcula el área del triángulo ABC. c) Obtén un plano paralelo al plano π que diste 4 unidades del origen de coordenadas. a) c) b) x + y + z + · =0 x + y + z + · =0 A= Sólo se pone el signo negativo, si el número es positivo no se pone + x + y + z + =0 · √ u² · · √ √ Valor irracional simplificado. Término independiente negativo Término independiente positivo coeficiente de x positivo y menor posible natural a) Considera los planos π y ρ dadas por: a) Determina la posición relativa de π y ρ. b) Halla la distancia entre el origen de coordenadas y la recta intersección de los planos Los planos se cortan Los planos son coincidentes Los planos son paralelos π: x+y+2z-4=0 ρ: 2x-y+z-2=0 b) d= Recuerda, el valor de la distancia racionalizado y simplificado: √ a) Considera los planos: π1: a) Estudia a para que sean paralelos, en caso de que no exista ese valor, escribe "no existe" sin las comillas. b) Escribe la ecuación de la recta que no corta a los dos planos cuando a vale 1 y pasa por el punt0 (2, 1, 2) a= ax+y-7z+5=0 π2: x+2y+a² z-8=0 b) x - 15 = y - 1 = z - Los planos son secantes en un punto. Los planos son paralelos. Los planos se cortan dos a dos forma de tienda de campaña. Los planos son coincidentes. a) Considera los planos: π2: a) Estudia su posición relativa. b) Escribe la ecuación del plano que no corta al segundo y pasa por el punto (2, π, -3) (x,y,z)=(1,0,-1)+λ·(1,0,-1)+μ·(-1,1,1) π1: 2x-3y+z-1=0 b) x+ Si el coeficiente es positivo no pongas el signo, si es negativo pon - delante del número El plano pedido es: π3: { y+ (x,y,z)=(e,π,√3)+λ·(2,-1,1) Pasa por (-2,1,-1) y es perpendicular a la recta: z+ =0 La recta corta al plano. Recta y plano son paralelos. La recta está contenida. a) a) Estudia su posición relativa. b) Escribe la ecuación del plano que contiene a la recta y pasa por el punto (2, 3, 1) Considera el plano y la recta: (x,y,z)=(1,0,-1)+λ·(1,-1,2)+μ·(2,1,1) x b) El plano pedido es: Signo (x,y,z)=(3,2,-1)+λ·(1,1,0) y z =0 Calcula el punto simétrico de A:(2,1,-1) respecto de la recta r: Paso 1: Ecuación del plano π perpendicular a r que pasa por A: Paso 2: Corte de r y π: Ponemos r en paramétricas, sustituimos en π y el valor de λ nos da el punto: Paso 3: Aplicamos que el punto anterior es el punto medio entre A y A': λ= El plano pedido es: r: nπ : (x,y,z)=(1,2,6)+λ·(2,1,1) ( , , ) Valor con signo A': π: ( , , ) 2x y r ∩ π: A los positivos sin el signo + ( , , ) z No se pone signo + a los valores positivos Signo =0 |