Geometría euclídea 3
Considera los vectores u (1,1,1), v (2, 2,a) y w (2,0,0).

a) Halla los valores de a para los que los vectores
 u, v y w son linealmente independientes:

b) Determina los valores de a para los que los
vectores u + v  y  u - w son ortogonales:

c) Escribe ordenados de menor a mayor todos los
valores que no son solución de los anteriores
apartados:
a=-3
?
a≠0
?
a=3
?
a≠2
?
a=-1
?
Sabiendo que las rectas r y s se cruzan, halla los puntos A y B de r y s que están
a la mínima distancia. Halla también esa distancia.

r : x = y = z
s: Recta que pasa por el punto (1,3,0) y tiene como vector dirección (1,1,-1)
(      ,        ,         )
Distancia:
d=
Punto A:
(      ,        ,         )
Punto B:
Considera la recta r y los planos π1 y π2 siguientes:
r pasa por (1,-1,0) y su dirección es: (2,1,3)
π1 pasa por (0,0,-3) y su vector normal es: (1,1,1)
π2 pasa por (-3,0,-6) y son vectores directores
(1,-1,0) y (0,1,-1), halla:
a) El punto P de r que tiene por coordenada x, 3:
b) La posición relativa de π1 y π2 .
c) El punto Q que pertenece a r y equidista de los
dos planos
P(     ,      ,      )
Q(     ,      ,      )
 Secantes
 Paralelos
 Coincidentes
 Ninguna es correcta
Considera la recta r y el plano π dadas por:





a) Determina la posición relativa de r y π.
b) Dados los puntos B (4, 4, 4) y C (0, 0, 0) , halla un punto A en la recta r de
manera que el triángulo formado por los puntos A, B y C sea rectángulo en B.

a)
r:
 Recta y plano se cortan
 Rectas y plano son paralelos
 Recta contenida en el plano
 Ninguna es cierta.
{
x=t
y=t
z=0
π:
{
x=α
y=α
z=β
b)
A:
(      ,        ,         )
Se sabe que el plano π corta a los semiejes positivos de coordenadas en los
puntos A, B y C, siendo las longitudes de los segmentos OA, OB y OC de 4 u,
donde O es el origen de coordenadas.
a) Halla la ecuación del plano π .
b) Calcula el área del triángulo ABC.
c) Obtén un plano paralelo al plano π que diste 4 unidades del origen de
 coordenadas.




a)
c)
b)
x +     y +      z +      ·        =0
x +     y +      z +      ·        =0
A=
Sólo se pone el signo negativo, si el número es positivo
no se pone +
x +     y +      z +       =0
·
·
·
Valor irracional simplificado.
Término independiente
negativo
Término independiente
positivo
coeficiente de x positivo
y menor posible natural
a)
Considera los planos π y ρ dadas por:



a) Determina la posición relativa de π y ρ.
b) Halla la distancia entre el origen de coordenadas y la recta intersección de
los planos

 Los planos se cortan
 Los planos son coincidentes
 Los planos son paralelos
π:
x+y+2z-4=0
ρ:
2x-y+z-2=0
b)
d=
Recuerda, el valor de la distancia
racionalizado y simplificado:
a)
Considera los planos:
π1:
a) Estudia a para que sean paralelos, en caso de que no exista ese valor,
escribe "no existe" sin las comillas.
b) Escribe la ecuación de la recta que no corta a los dos planos cuando a vale
1 y pasa por el punt0 (2, 1, 2)
a=
ax+y-7z+5=0
π2:
x+2y+a² z-8=0
b)
x -
15
=
y - 1
=
z -
 Los planos son secantes en
        un punto.
 
 Los planos son paralelos.
 Los planos se cortan dos a dos
         forma de tienda de campaña.
 Los planos son coincidentes.
a)
Considera los planos:
π2:
a) Estudia su posición relativa.
b) Escribe la ecuación del plano que no corta al segundo y pasa por
el punto (2, π, -3)
(x,y,z)=(1,0,-1)+λ·(1,0,-1)+μ·(-1,1,1)
π1:
2x-3y+z-1=0
b)
x+
Si el coeficiente es positivo no
pongas el signo, si es negativo
pon - delante del número
El plano pedido es:
π3:
{
y+
(x,y,z)=(e,π,√3)+λ·(2,-1,1)
Pasa por (-2,1,-1)  y
es perpendicular a la recta:

z+
=0
 La recta corta al plano.
 Recta y plano son paralelos.
 La recta está contenida.
a)
a) Estudia su posición relativa.
b) Escribe la ecuación del plano que contiene a la recta y pasa por
el punto (2, 3, 1)
Considera el plano y la recta:
(x,y,z)=(1,0,-1)+λ·(1,-1,2)+μ·(2,1,1)
 x
b)
El plano pedido es:
Signo
(x,y,z)=(3,2,-1)+λ·(1,1,0)
y
z
=0
Calcula el punto simétrico de A:(2,1,-1) respecto de la recta  r:
Paso 1: Ecuación del plano π perpendicular a r que pasa por A:
Paso 2: Corte de r y π:
Ponemos r en paramétricas, sustituimos en π y el valor de λ nos da el punto:
Paso 3: Aplicamos que el punto anterior es el punto medio entre A y A':
λ=
El plano pedido es:
r:
nπ
:
(x,y,z)=(1,2,6)+λ·(2,1,1)
(              ,           ,               )
Valor con signo
A':
π:
(            ,           ,            )
2x
y
r ∩ π:
A los positivos sin el signo +
(            ,             ,            )
z
No se pone signo
+ a los valores
positivos
Signo
=0
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