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DETERMINANTE DE UNA MATRIZ Regla de Sarrus Determinante de una matriz (cuadrada) Ejemplo: 1 3 a11 a21 5 a22 4 a12 = = a11a22-a12a21 1·5 - 4·3 = 5-12 = 1 ? 5 ? 4 ? 3 ? un número real Determinante de una matriz (cuadrada) Ejemplo: 1 -3 -2 0 12 5 4 5 = = (-2)·5-12·0=-10-0= (-2) ? 1·5-4·(-3)=5+12= 5 ? 12 ? 0 ? Calcula el determinante de las siguintes matrices cuadradas: Ejemplo: 11 -3 -2 -4 12 -5 6 7 = = A matriz < de orden 2 ∖ ∕ A= 0 ⇨ rango(A) = 0 A≠0 < ∖ ∕ |A|≠0 ⇨ rango(A) = 2 |A|=0 ⇨ rango(A) = 1 B= A= ¿Cual de las matrices es regular? Calcula el rango de las siguientes matrices: 3 5 2 0 -1 -2 1 4 |A|= |B|= A es regular B es regular Ambas son regulares rang(A)= rang(B)= A= B= ¿Que matriz es singular? Calcula el rango de las siguientes matrices: -1 -5 2 5 -1 -2 1 4 |A|= |B|= Ambas son regulares Ambas son singulares La matriz A es singular La matriz B es singular rang(A)= rang(B)= A= B= Calcula el rango de las siguientes matrices: 10 -1 -5 2 -1 2 4 3 |A|= A es una matriz |B|= B es una matriz escribe: regular o singular rang(A)= rang(B)= Singular Regular |A|= Determinante de una matriz de orden 3: -3 2 0 1 3 -1 0 4 2 a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23-a13a22a31-a23a32a11-a33a12a21 A= = 1·4·0+0·2·(-1)+(-3)·3·2 -(-1)·4·(-3) -2·2·1-0·0·3 = 0+0-18-12-4-0= a31 a32 a33 a21 a22 a23 a11 a12 a13 Cacula los determinantes: -2 1 -2 -2 1 -2 1 3 4 1 2 3 -1 -3 4 2 1 -2 -1 -3 4 1 2 3 1 2 3 = = = -2 1 -2 0 1 -2 1 2 3 1 0 0 -1 -3 4 2 1 -2 0 0 4 1 2 3 1 2 3 = = = |A|= Cálculo del determinante de una matriz de orden 3: = a11· -a12· +a13· A= = a11·(a22a33-a23a32)-a12·(a21a33-a23a31)+a13·(a21a32-a22a31)= a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23-a13a22a31-a23a32a11-a33a12a21= a22 a23 a32 a33 ? a21 a22 a23 a11 a12 a13 a31 a32 a33 a21 a23 a31 a33 ? a21 a22 a31 a32 ? |A|= = a11·(-1)1+1 · + a12·(-1)1+2· +a13·(-1)1+3· Cálculo del determinante de una matriz de orden 3: = a11· -a12· +a13· = a11·(a22a33-a23a32)-a12·(a21a33-a23a31)+a13·(a21a32-a22a31)= a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23-a13a22a31-a23a32a11-a33a12a21= A11 a22 a23 a32 a33 a22 a23 a32 a33 M11 a21 a23 a31 a33 A12 ? a21 a23 a31 a33 M12 a21 a22 a31 a32 A13 ? a21 a22 a31 a32 M13 |A|= Cálculo del determinante de una matriz de orden 3 por los adjuntos de los elementos de una fila: Adjunto del elemento "aij"; Aij=(-1)i+j·det(Mij) Mij es la matriz complementaria del elemento aij = a11· -a12· +a13· = a11·(a22a33-a23a32)-a12·(a21a33-a23a31)+a13·(a21a32-a22a31)= a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23-a13a22a31-a23a32a11-a33a12a21= a22 a23 a32 a33 a21 a23 a31 a33 a21 a22 a31 a32 Cálculo del determinante de una matriz de orden 3 por los adjuntos de los elementos de una fila: |A|= ai1·Ai1+ai2·Ai2 +ai3·Ai3 Analogamente se procede para matrices de orden superior. i = número de fila entre 1 y 3 i1 ? i2 ? i3 ? DETERMINANTE DE UNA MATRIZ Método de Gauss Este método consiste en transformar la matriz dada en otra triangular y que tenga el mismo determinante, aplicando las siguientes propiedades: Método de Gauss Nota: El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. Si en un determinante a una fila o columna se le suma otra paralela multiplicada por un número no nulo, el determinante no varía. Si se permutar dos filas o columnas de un determinante, este cambia de signo con respecto al original. Si en un determinante a una fila o columna se le suma otra paralela, el determinante no varía. Método de Gauss El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. -2 3 4 3 -1 0 1 2 3 F1↔F2 =- F2+2·F1 F3-3·F1 -2 3 4 3 -1 0 1 2 3 =- 0 -7 -9 0 7 10 1 2 3 F3+F2 =- 1 2 3 0 7 10 0 0 1 Matriz triangular =-7 CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES Dada una matriz A de orden n, siempre se cumple: Por lo tanto podemos calcular la matriz inversa de la forma (despejando en la expresión anterior): A·(Adjunta(A))T=det(A)·In A-1 ? A·(Adj(A))T=|A|·I (Adj(A))T ? |A| ? CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES Si las filas o columnas de una matriz son linealmente dependientes, su determinante es 0. Si el determinante de una matriz cuadrada es 0, las filas o columnas son linealmente dependientes. Una matriz de dimensión mxn tiene de rango r 1º Existe un determinante de orden r, extraído de la matriz, distinto de cero. 2º Todos los determinantes de orden r+1, extraídos de la matriz, son nulos. rango r ⋜ min (m,n) 4º Si todos los determinates de orden 3 dan cero entonces el rango es 2. En caso contrario continuamos como en el para 2º (orden 3)... 2º Buscamos una submatriz de A de orden 2 con determinante no nulo. 3º Añadimos a la submatriz anterior una fila y una columna y calculamos su determinante. Si la matriz A tiene de dimensión mxn 1º Calculamos el mínimo de m y n: rango(A) ≤ min (m,n) POR DETERMINANTES CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ A= Tenemos 3 filas ⇨ rang(A)= Busquemos un determinante de orden 3 no nulo: 0 1 2 -1 0 1 0 1 2 2 -3 1 0 1 2 1 1 -3 =-6+0+2-4-0-0=-8≠0 1 2 1 lineal. independientes lineal. dependientes Dimensión de A = 4x3 min(3,4) = 3 0 1 1 2 = 2 ≠0 |