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GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO PROPIEDADES MÉTRICAS Distancia entre dos puntos Distancia de un punto a una recta Distancia entre dos rectas paralelas Distancia entre dos rectas que se cruzan Ángulo entre dos rectas secantes Ángulo entre dos rectas que se cruzan Ángulo entre dos planos secantes DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS x2 x1 z2 z1 B(x2,y2,z2) y2 |AB|= (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 A(x1,y1,z1) y1 Distancia de A a B Dist(A,B)=|AB| b) a) Calcula la distancia entre los siguientes puntos: A(2,3,4), B(-2,0,5) A(-2,0,1), B(2,2,-1) Distancia (A,B) = |AB| = Distancia (A,B) = |AB| = = AB= AB= ( , , ) ( , , ) Distancia de un punto a una recta r Para calcular la distancia de un punto P a una recta r necesitamos conocer un punto de la recta y un vector director distancia de P a r = A v |AP x v| = |v|·|AP|·sen(AP,v) |AP x v| |v| d P ◝ d = distancia de P a r 90º x = Punto de la recta: Calcula la distancia del punto P( , , ) a la recta r: r: 2x+3y-z-4=0 x-y +2z+1=0 z+4 3 -2z-1 -1 2 3 1 -1 AP=( , , ) A( , , 0 ) = -z + 1 5 2x+3y = z+ 4 x- y = -2z - 1 S.C.I. 1 5 6 5 , y = Resolvemos el sistema para calcular un punto de la recta r: 2 z+4 1 -2z-1 2 3 1 -1 6 5 1 5 5 = z + 6 5 , z=z Punto de la recta: Calcula la distancia del punto P( , , ) a la recta r: AP=( 1, -1, 5 ) r: AP x v = 2x+3y-z-4=0 x-y +2z+1=0 v= i j k 2 3 -1 1 -1 2 i j k 1 -1 5 5 -5 -5 A( , , 0 ) 1 5 = = ( , , ) ( , , ) 6 5 6 5 1 5 5 |AP x v| |v| Distancia(P,r) = = AP x v = (30, 30, 0) v=(5,-5,-5) Calcula la distancia del punto P( , , ) a la recta r: r: 2x+3y-z-4=0 x-y +2z+1=0 |AP x v| |v| |v| = |AP x v | = 6 5 1 5 5 Calcula la distancia del punto P( , , ) a la recta r: r: Calculemos la proyección del punto "P " sobre la recta "r" , " P' ". La distancia de P a r es igual al módulo del vector PP'. Sea π el plano que pasa por P y tiene como vector normal el vector director de r. P' = r ∩π 2x+3y-z-4=0 x-y +2z+1=0 Vector director de la recta u = u = π: 5x -5y -5z + D = 0 ( , , ) Otra forma posible para resolver el problema: (2,3,-1) x (1,-1,2) = Calculemos D 6 5 1 5 5 1 -1 2 ? 2 3 -1 ? i j k ? Calcula la distancia del punto P( , , ) a la recta r: r: 2x+3y-z-4=0 x-y +2z+1=0 π: 5x -5y -5z + D = 0 π: 5x -5y -5z + = 0 P' = π ∩ r P∊π D=-5· +5· +5·5= π: 5x-5y-5z+20= 0 r: 6 5 2x+3y- z-4 = 0 x- y+2z+1 = 0 1 5 Calculemos D 6 5 1 5 5 Resolvamos el sistema para calcular P' Calcula la distancia del punto P( , , ) a la recta r: x= z= r: π: 5x-5y-5z+20= 0 4 3 -1 -1 -1 2 -20 -5 -5 2x+3y- z-4 = 0 x- y+2z+1 = 0 2 3 4 1 -1 -1 5 -5 -20 2 3 -1 1 -1 2 5 -5 -5 2 3 -1 1 -1 2 5 -5 -5 = = Resolvamos el sistema para calcular P'=P∩π = = -4 1 5 P'( , , ) y= 6 5 2 4 -1 1 -1 2 5 -20 -5 2 3 -1 1 -1 2 5 -5 -5 -4 5 1 5 5 11 5 = 1 = 11 5 Distancia de P a r = |PP'|= Calcula la distancia del punto P( , , ) a la recta r: P'( , , ) PP'=( , , ) -4 5 -2 ? 11 5 2 ? 1 -4 ? 6 5 1 5 5 Distancia entre dos rectas paralelas = Distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra. r s Distancia(r,s)= distancia de P a s = v v A |AP x v| |v| P Distancia entre dos rectas que se cruzan Volumen = Superficie base x altura Distancia de (r,s)= A B d v u s | [AB, u, v] | |u x v| r La distancia de la recta r a la recta s coincide con la altura del paraleleípedo que forman los vectores AB, u y v. Calcula la distancia entre las rectas r y s: r: = = s: = = x-3 x+3 2 3 y+1 -2 2 y z-1 z-1 1 1 Vector director de la recta s Punto de la recta s v =( , , ) B=( , , ) Vector director de la recta r Punto de la recta r u =( , , ) A=( , , ) Calcula la distancia entre las rectas r y s: Recta r: Recta s: AB = ( -6, 1, 0) Distancia de (r,s)= Vector director Vector director v =( 3,-1, 1) u =( 2, 2, 1) | [AB, u, v] | |u x v| B=( -3, 0, 1 ) Punto de la recta A=( 3, -1, 1) Punto de la recta = Ángulo entre dos rectas secantes s r α = ángulo (r,s) = A ◝ v α u |u · v| = |u|·|v|·cos(u,v) arccos ( ) |u|· |u · v| |v| Ángulo entre dos rectas que se cruzan r s r' α = ángulo (r,s) = A v ◝ v α u arccos ( ) |u|· |u · v| |v| recta paralela a "r" y secante con "s" Ángulo entre dos planos secantes ángulo (π,π') =ángulo( nπ , nπ' ) π' nπ' ◜ nπ π Calcula en ángulo que forman los planos π y π ' π : 2x-3y+4z-2=0 vector normal nπ = nπ · nπ nπ' ( , , ) = = nπ' = ángulo=arccos nπ' = π' : 3x-3y -2z+3=0 vector normal ( , , ) ( ) 638 |