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GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO Ecuaciones de una recta en el espacio Ecuaciones de un plano en el espacio Perpendicular común a dos rectas Ecuaciónes de una recta en el espacio r a A(x1,y1,z1) ECUACIÓN VECTORIAL x AB = a + x AX B(x2,y2,z2) = a + t· AB X(x,y,z) Ecuaciónes de una recta en el espacio r a A(x1,y1,z1) AB ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA x B(x2,y2,z2) ECUACIÓN VECTORIAL x x = x1 + t (x2-x1) y = y1 + t (y2-y1) z = z1 + t (z2-z1) = a X(x,y,z) + t· AB Ecuaciónes de una recta en el espacio x = x1 + t (x2-x1) x y = y1 + t (y2-y1) z = z1 + t (z2-z1) x2-x1 x-x1 = a + y2-y1 t· y-y1 AB z2-z1 z-z1 ECUACIÓN VECTORIAL ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA Despejando el parámetro t e igualando... ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA Calcula las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(2,1,3) y B(-2,4,0): Tomemos como como punto de la recta "A" y como vector director AB AB= Ecuación vectorial Ecuaciónes paramétricas ( , , ) (x,y,z) ? x = y = z = = (2,1,3) ? 2-4t ? 1+3t ? 3-3t ? +t· ( , , ) Ecuación continua Calcula las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(2,1,3) y B(-2,4,0): Ecuaciónes paramétricas x- x = y = z = y- 1+3t 3-3t 2-4t z- x2-x1 Ecuaciónes de una recta en el espacio A'x+B'y+C'z+D'=0 x-x1 Ax+By+Cz+D=0 x = x1 + t (x2-x1) x y = y1 + t (y2-y1) z = z1 + t (z2-z1) = a + y2-y1 y-y1 t· AB z2-z1 z-z1 ECUACIÓN VECTORIAL ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA Ecuaciones de dos planos secantes, se cortan en la recta "r" ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA ( 3, 4, 0) x ( 0,-3,-3)= ( 3, 4, 0) x (-3, 0, 4)= Vector director de la recta AB=(-4,3,-3) = v ( 0,-3,-3) x ( -3, 0, 4)= Ecuación continua π: 3x+4y-10=0 μ: -3y-3z+12=0 λ: -3x+4z-6=0 x - 2 -4 Ecuaciones de tres planos secantes en la recta que pasa por los puntos dados A, B. Comprobemos que los productos vectoriales de los vectores normales de los planos son proporcionales al vector director de la recta. ( , , )= ·v ( , , )= ·v ( , , )= ·v y - 1 3 z - 3 -3 Ecuaciónes de un plano en el espacio a A(x1,y1,z1) v ECUACIÓN VECTORIAL x x AX = u a C(x3,y3,z3) + AX B(x2,y2,z2) = a + λ· u X(x,y,z) +μ· v Ecuaciónes de un plano en el espacio ECUACIÓNES PARAMÉTRICAS a A(x1,y1,z1) v AX u C(x3,y3,z3) x x = x1+λ(x2-x1)+μ(x3-x1) y = y1+λ(y2-y1)+μ(y3-y1) z = z1+λ(z2-z1)+μ(z3-z1) B(x2,y2,z2) x = a + X(x,y,z) λ· u +μ· v A(x1,y1,z1) Calculando el determinante resulta la ecuación: v AB u C(x3,y3,z3) x = x1+λ(x2-x1)+μ(x3-x1)=x1+λ(ux)+μ(vx) z = z1+λ(z2-z1)+μ(z3-z1))=x1+λ(uz)+μ(vz) y = y1+λ(y2-y1)+μ(y3-y1))=x1+λ(uy)+μ(vy) B(x2,y2,z2) X(x,y,z) X-X1 Y-Y1 Z-Z1 Ux Uy Uz Vx Vy Vz ECUACIÓN CONTÍNUA Ax+By+Cz+D=0 Los vectores u, v, AX son linealmente dependientes =0 Calcula las ecuaciónes paramétricas del plano π que pasa por el punto A(2,3,1) y tiene por vectores directores u =(1,0,2) y v =(0,-1,-2) El vector n=(A,B,C) es el vector normal del plano El producto vectorial u x v es proporcional al vector n y= 3+λ·( 0)+μ·( -1) z= 1+λ·( 2)+μ·( -2) x= 2+λ·( 1)+μ·( 0) Calcula la ecuación continua del plano π que pasa por el punto A(2,3,1) y tiene por vectores directores u =(1,0,2) y v =(0,-1,-2) Ecuación general del plano x-2 y-3 z-1 0 -1 -2 1 0 2 π:( )·x + ( )·y +( )·z +( )= 0 =0 Operando tenemos... Comprueba que el palno π pasa por el punto A(2,3,1) y que el producto vectorial de los vectores directores u =(1,0,2) y v =(0,-1,-2) es proporcional al vector n= (2,2,-1) π=2x+2y-z-9=0 u x v = 2·2+2·3-1·1-9 = 1 0 2 ? 0 -1 -2 ? i j k ? = ( , , ) A ∉ π A ∊ π Proyección ortogonal de un punto sobre un plano Calculamos la recta "r" perpendicular a π pasando por P π:Ax+By+Cz+D=0 n=(A,B,C) r P' P = P∩ r Calcula la proyección ortogonal del punto P(1,0,3) sobre el plano π:2x-3y+2z-1=0 Ecuación continua de la recta perpendicular a π , pasando por P r: r: x -( ) -3x-2y+3=0 -2y+3z-9=0 y -( ) z -( ) π: 2x-3y+2z-1=0 Calculamos la intersección del plano π y la recta r x= r: -3x-2y+3=0 -2y+3z-9=0 -3 0 2 -3 9 1 -2 -2 -3 -2 -2 -3 0 3 2 0 3 2 Coordenadas de punto = y= -3 0 2 -3 0 2 -2 -2 -3 -3 9 1 0 3 2 0 3 2 = z= P' = r ∩ π -3 0 2 -3 0 2 -2 -2 -3 -2 -2 -3 -3 9 1 0 3 2 = π': Proyección ortogonal de una recta sobre un plano A B C Ux Uy Uz x-x1 y-y1 z-z1 n=(A,B,C) r'=π∩π' =0 r π u π' π' Calculamos el plano π' perpendicular a π y que contiene a la recta r π:Ax+By+Cz+D=0 P(x1,y1,z1) X(x,y,z) π r': Calcula la proyección ortogonal de la recta r sobre el plano π: -2x+2y+1z-3=0 r: La proyección ortogonal de la recta r sobre el plano π es: π ∩ π' Vector normal de π: Ecuación del plano"π' " perpendicular a π y que contiene a r π : -2x+2y+1z-3=0 π' : ( )·x + ( )·y + ( )·z + ( ) = 0 x-( -1 ) 2 = y-( 2 ) -2 n= ( , , ) = z-( 1 ) 1 π' : v= x+1 y-2 z-1 -2 2 1 2 -2 1 ( , , ) Vector director de "r" = 0 Calcula la proyección ortogonal de la recta r sobre el plano π: 3x-4y+4z+2=0 r: Vector normal de π: Calculamos un punto de la recta r. Resolvemos el S.C.I. Para z=0 tenemos el punto de la recta P x= x+y+z-2=0 2x-y-z+0=0 -z+2 z 1 2 1 -1 1 -1 = n= v=(1,1,1)x(2,-1,1)= Vector director de "r" ( , , ) y= 1 2 1 2 -z+2 z 1 -1 P( , , ) = 2 3 ( , , ) -z 4 3 x+y+z-2=0 2z-y-z+0=0 0 z= z r': Calculemos el plano π' perpendicular a π y que contiene a la recta r La proyección ortogonal de la recta r sobre el plano π es: π' : π : 3x-4y+4z+2=0 π' : ( )·x +( )·y +( )·z + ( ) = 0 x- 2 1 -3 3 -4 4 2 3 y- 4 3 r' = π ∩ π' z-0 = 0 Perpenducular común a dos rectas que se cruzan t= π ∩ π' s r ur x us As Ar 90º π': det(ArP,ur, UrxUs)=0 P π: det(AsP,us, UrxUs)=0 90º ur us π' π Calcula la perpendicular común a las rectas r y s Sea P(x,y,z) un punto genérico de la perpendicular r: AsP= p- as = ArP= p- ar = ur x us = ( , ) Ar(2,3,-1) i j k ? 1 1 2 ? 2 4 0 ? ( , , ) ( , , ) Ur=(2,4,0) = ( , , ) s: ( , ) As(-2,1,1) Us=(1,1,2) π: det(AsP,us, UrxUs)=0 π': det(ArP,ur, UrxUs)=0 π' : ( )·x +( )·y +( )·z + ( ) = 0 π : ( )·x +( )·y +( )·z + ( ) = 0 x+2 y-1 z-1 x-2 y-3 z+1 1 1 2 2 4 0 8 -4 -2 8 -4 -2 = 0 = 0 t= π ∩ π' π : 6x + 18 y -12 z + 6 = 0 π': -8x + 4y -40z -36 = 0 Comprueba que nπxnπ' es proporcional a ur x us Vector normal nπ'= Vector normal nπ= nπxnπ' = i j k ( , , ) ( , , ) = ·( , , ) ur x us |